Collection de motos

Identification

Rallye: 20.I.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver un nombre d’objets et un nombre de boîtes tels qu’il en reste 2 si on on met 4 objets par boîte et qu’il en manquerait 3 si on voulait en mettre 5 par boîte.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

• Imaginer la répartition : Léo met 4 modèles par boîte et il lui en reste 2. Il décide d’en mettre 5 par boîte, c’est-à-dire un de plus. Il place les deux motos qui restent dans les deux premières boîtes. Comme il manque 3 motos pour remplir toutes les boîtes, les 3 dernières seront incomplètes.
• En déduire qu’il y a donc 5 boîtes : 2 avec 5 motos et 3 avec 4 motos ; ce qui fait en tout 2 x 5 + 3 x 4 = 22 motos et et vérifier éventuellement que 5 x 4 + 2 = 22 et 5 x 5 – 3 = 22. (La situation peut être représentés par le dessin des boîtes ou simulée par des manipulations effectives).
• Ou, par essais successifs, par multiplications, additions et soustractions, déterminer le nombre de motos dans les deux rangements jusqu'à obtenir l’égalité. Les essais peuvent être inorganisés ou ordonnés en faisant varier le nombre de boîtes et en remarquant que la différence entre les deux nombres de motos décroît régulièrement, par exemple :

  boîtes            2                 3                 4                5
  motos (4 /boîte)  4 x 2 + 2 = 10    4 x 3 + 2 = 14    4 x 4 + 2 = 18   4 x 5 + 2 = 22
  motos (5 /boîte)  5 x 2 – 3 = 7     5 x 3 - 3 = 12    5 x 4 - 3 = 17   5 x 5 - 3 = 22

• Partir d'un nombre de motos qui permet de respecter une des contraintes du rangement (par exemple un nombre qui a pour reste 2 dans la division par 4) et vérifier s'il respecte la deuxième contrainte. Recommencer jusqu'à trouver un nombre qui convient.

Dans tous les cas, en déduire que le nombre de boîtes préparées par Lisa est 5, le nombre de motos étant 22.

Notions mathématiques

arithmétique, addition, soustraction, multiples, divisibilité

Résultats

20.I.05

Points attribués sur 1492 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (5 boîtes et 22 motos) avec explications claires et détaillées
• 3 points: Réponses correctes (5 boîtes et 22 motos) avec explications peu claires
• 2 points: Réponses correctes (5 boîtes et 22 motos) sans explications
  ou démarche correcte avec erreur de calcul (exemple : 4 boîtes et 18 motos et une erreur dans le cas des 5 motos par boîte, 18 à la place de 17)
• 1 point: Une des réponses, sans explication
• 0 point: Incompréhension du problème.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La grande majorité des élèves de catégorie 3 et 4 ne comprennent pas le problème, qui est aussi très difficile pour la catégorie 5.

Une première analyse des copies de la section de Suisse romande a fait apparaître les principaux obstacles mais aussi les différentes stratégies permettant d’arriver à la solution :

les obstacles semblent liés à la lecture et/ou à l’appropriation de la situation :

• le nombre de boîtes change d’une distribution à l’autre,
• les deux qui restent vont dans une boîte supplémentaire,
• confusion entre les nombres de boîtes, de motos, de motos par boîtes, de nombre qui restent ou qui manquent,
de très nombreuses stratégies (par dessins, par listes de multiples - en catégorie 5 –, additives, multiplicatives …) apparaissent mais il faudrait plus de copies pour les identifier clairement.

Il serait intéressant de poursuivre l’analyse des copies et, surtout, de reproposer le problème dans un contexte plus clair car la tâche mathématique est simple : le nombre de motos est, d’une part, « 4 par boîte » plus 2, d’autre part « 5 par boîte » moins 3, d’où l’écart de « 1 par boîte » se décompose en 2 en plus et 4 en moins c’est-à-dire 5.

Il faudrait qu’un groupe de travail s’oriente sur « le sens des opérations arithmétiques » et approfondisse les liens entre l’addition et la multiplication.

Il faut retrouver les nombreux anciens problèmes sur ce thème, en inventer de nouveaux pour pouvoir en dire plus.

A confronter par exemple avec Les abricots (cat. 6-8 ) (21.II.11)

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