Les abricots

Identification

Rallye: 21.II.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le dividende et le quotient entier d’une division euclidienne sachant que si le diviseur est 3 le reste sera 2 et si le diviseur est 4, il manque 5 au dividende pour pouvoir effectuer l’opération avec un reste nul, dans un contexte de partage d’abricots.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- S’approprier les données des deux distributions présentées dans l’énoncé : celle de 3 par personne avec un reste de 2 ; celle de 4 par personne, qui n’est pas possible car il manque 5 abricots. Établir des relations entre les nombres donnés (multiples de 3 et de 4, additions ou soustraction du reste ou du « manque ») Comprendre que le problème est de trouver un même nombre d’abricots et un même nombre d’enfants qui vérifient les deux distributions.

- Une procédure consiste à évoquer une distribution effective, dans l’ordre chronologique : chaque enfant prend un abricot à tour de rôle, puis un deuxième, puis un troisième ; les 2 abricots qui restent permettent au 1er et au 2e enfant d’en prendre un quatrième ; le troisième, le quatrième et les suivants ne peuvent pas le faire car il n’y a plus d’abricots mais avec les 5 abricots fictifs (qui manquent), le 3e, le 4e, le 5e, le 6e et le 7e enfant pourraient aussi avoir 4 abricots. Un simple comptage permet ainsi de déterminer qu’il y a 7 enfants et 23 abricots : 23 = (7 × 3) + 2 =(7 × 4) – 5. (Cette stratégie « élémentaire » suppose toutefois qu’on laisse inconnu le nombre d’enfants tout au long de la distribution, qui n’apparaîtra qu’à la fin du processus fictif).

Ou, pour ceux qui ont perçu les multiples successifs du nombre d’enfants, constater que le nombre d’abricots se situe à 2 unités au-delà du 3e mais à 5 unités avant le 4e, représentant un écart de 7 entre ces deux multiples.

Ou bien, procéder à des essais en choisissant un nombre d’enfants, en calculant le nombre d’abricots pour chaque distribution et en vérifiant que ces deux résultats sont égaux.

Par exemple avec 10 enfants, il y aurait 32 = (10 × 3) + 2 abricots pour la première, mais 35 = (10 × 4) – 5 pour la seconde ; il faut rejeter l’essai et en tenter un autre.

Après une ou plusieurs tentatives, ces essais peuvent être organisés par exemple selon un nombre croissant d’enfants.

  nb d’enfants (E) 2  3  4  5  6  7  8  9  10 11
  3E + 2           8 11 14 17 20 23 26 29  32 35
  4E – 5           3  7 11 15 19 23 27 31  35 39

(Les essais ci-dessus sont présentés sous forme « complète » ou « experte » avec la maîtrise des caractéristiques « un multiple de 3 plus 2 » et « 5 de moins qu’un multiple de 4 ». Ils permettent de se convaincre de l’unicité de la solution « 7 enfants, 23 abricots ». Les productions des élèves sont en général moins « régulières » ou exhaustives et elles peuvent laisser planer des incertitudes sur la part du hasard dans la recherche de la solution.

Ou encore : partir des nombres d’abricots possibles pour chacune des distributions et les identifier. Les deux listes des nombres qui valent 2 de plus qu’un multiple de 3 (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, …) et/ou 5 de moins qu’un multiple de 4 (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, …) se situent cette fois-ci au début de la procédure de résolution (alors que dans la procédure précédente, elles en étaient l’aboutissement). On y trouve des nombres communs : 11, 23, 35, … La tâche est de vérifier pour chacun de ces « candidats », celui qui donne le même nombre d’enfants :

• 11 abricots ; 11 = (3 × 3) + 2 = (4 × 4) - 5 (3 enfants et 4 enfants) solution à écarter
• 23 abricots : 23 = (7 × 3) + 2 = (7 × 4) - 5 (7 enfants dans les deux cas) solution à retenir
• 35 abricots ; 35 = (11 × 3) + 2 = (10 × 4) - 5 (11 enfants et 10 enfants) solution à écarter

… avec l’assurance que 23 est le seul nombre d’abricots à retenir.

Ou : s’aider de schémas, de tableaux ou de dessins pour représenter les parts de chacun selon l’une ou l’autre des procédures précédentes sans toutefois pouvoir décrire le raisonnement ou aller au-delà d’une vérification.

Ou bien, utiliser des lettres pour formaliser les relations entre les données du problème. Par exemple en notant A le nombre d'abricots et E celui des enfants pour chacune des deux distributions, on a : A = 3E + 2 et A = 4E – 5. On obtient donc l'équation 3E + 2 = 4E – 5, la résoudre par essais ou de manière algébrique : E – 7 = 0, d’où A = 3 x 7 + 2 = 23.

Notions mathématiques

quatre opérations, division avec reste, équation du premier degré

Résultats

21.II.11

Points attribués sur 1855 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: La solution complète (7 enfants et 23 abricots) avec explication permettant de constater que la solution est unique
• 3 points: La solution complète (7 enfants et 23 abricots) avec vérification ou dessins ne permettant pas de savoir si la solution est obtenue au hasard ou que les possibilités ont toutes été envisagées
• 2 points: La solution complète (7 enfants et 23 abricots) sans explication ni vérification
  ou seulement une des deux réponses avec des explications
• 1 point: Réponse qui donne le même nombre pour les deux distributions pour seulement le nombre d'abricots ou seulement celui des enfants (ex. : 11 abricots ; 11 = (3 × 3) + 2 = (4 × 4) – 5)
• 0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

Variante de: Collection de motos (20.I.05)

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