Banque de problèmes du RMT
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Trouver un nombre entier tel que son quintuple augmenté 6 soit égal au double de ce nombre augmenté de 21.
- Comprendre la structure générale des relations : l’égalité entre une première grandeur comprenant cinq fois le prix réduit à laquelle on ajoute 6 euros et une deuxième grandeur constituée de deux fois le prix complet, qui vaut 10,5 euros de plus que le prix réduit. On peut résumer cette relation en une égalité numérique du genre : 5 fois un petit nombre + 6 = 2 fois le petit nombre augmenté de 10,5, qui préfigure une équation comme 5x + 6 = 2(x + 10,5). C’est ce passage du texte à la relation numérique qui paraît la tâche principale.
Il reste alors la phase de calcul qui peut s’organiser de plusieurs manières, dont en particulier:
- une procédure par essais successifs et organisés qui aboutit à 5 euros pour le petit prix et qui vérifie 5 × 5 + 6 = 2 × 15,5
- une procédure déductive (pré-algébrique) qui compare cinq fois le « petit prix » + 6 et deux fois le « prix complet » en substituant à ce dernier « un petit et 10,50 » (en euros), dans cette conception on obtient l’équivalence entre cinq fois le petit + 6 et deux fois le petit + 21 (2 × 10,5) puis l’équivalence entre cinq fois le petit et deux fois le petit + 15 (21 - 6) et finalement à l’équivalence entre trois fois le petit et 15. On en tire que le petit est 5.
- la procédure algébrique de résolution de l’équation 5x + 6 = 2(x + 10,50) ou 3x = 15, dont la solution est 5, et en déduire le prix du billet de la visite complète : 15,50 euro.
Les savoirs mobilisés dépendent aussi des modalités de résolution : ils vont des simples opérations arithmétiques sur des nombres naturels ou décimaux à la mise en équation, avec une approche déductive progressive.
addition, soustraction, multiplication, différence, équation
Points attribués sur 2614 copies de 21 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 680 (66%) | 66 (6%) | 48 (5%) | 155 (15%) | 82 (8%) | 1031 | 0.93 |
| Cat 7 | 435 (56%) | 57 (7%) | 36 (5%) | 146 (19%) | 107 (14%) | 781 | 1.27 |
| Cat 8 | 170 (31%) | 42 (8%) | 23 (4%) | 128 (23%) | 182 (33%) | 545 | 2.2 |
| Cat 9 | 40 (28%) | 10 (7%) | 5 (3%) | 29 (20%) | 60 (42%) | 144 | 2.41 |
| Cat 10 | 12 (11%) | 6 (5%) | 3 (3%) | 8 (7%) | 84 (74%) | 113 | 3.29 |
| Total | 1337 (51%) | 181 (7%) | 115 (4%) | 466 (18%) | 515 (20%) | 2614 | 1.48 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Comme le montre le tableau précédent, la réussite augmente très sensiblement et régulièrement de la catégorie 6 à la catégorie 10, âge où les étudiants sont capables de maîtriser une résolution algébrique. Ces procédures apparaissent dès la catégorie 8.
Au vu de l’évolution des résultats en fonction de l’âge des élèves, les perspectives d’exploitation semblent prometteuses pour le passage des procédures par essais, puis par déduction logique et à la mise en équation du problème.
Reprise de Eclairs au chocolat (21.I.10)
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