Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop51-fr |
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Expliquer le fonctionnement d’un jeu : à partir d’un nombre quelconque de deux chiffres pensé par un joueur, appliquer une suite d'opérations, puis, du résultat obtenu, retrancher l’année de naissance du joueur pour obtenir un nombre de quatre chiffres dont les deux premiers forment le nombre pensé et les deux derniers l'âge du joueur.
- Faire quelques essais pour vérifier que le jeu fonctionne pour n’importe quel nombre et avec n’importe quelle personne qui joue.
- Comprendre que le nombre choisi par Zoé est d’abord multiplié par 4 puis par 25, il est donc multiplié par 100 et devient un nombre de centaines.
- Comprendre que par distributivité de la multiplication sur l’addition on ajoute 68 multiplié par 25, soit 1700.
- En continuant l’algorithme, Zoé ajoute 314 à 1700, ce qui donne 2014.
- De 2014, Zoé retranche son année de naissance, ce qui donne son âge en 2014 (nombre de 2 chiffres, éventuellement commençant par 0 !).
- Le résultat du calcul de Zoé est un nombre à 4 chiffres dont les deux premiers chiffres donnent un nombre de centaines égal au nombre choisi et les deux derniers chiffres, les dizaines et les unités donnent son âge en 2014.
Ou bien : Écrire le nombre de deux chiffres en forme polynomiale 10x + y et le transformer selon les indications données : 4 (10x + y) ; 40x + 4y + 68 ; 25 (40x + 4y + 68) = 1000 x + 100 y + 1700 ; 1000 x + 100 y + 1700 + 314 = 100 (10x + y) + 2014.
On observe ainsi qu'on obtient un nombre de quatre chiffres dont les deux premiers forment le nombre choisi et la différence entre 2014, l’année actuelle, et l'année de naissance est l'âge de la personne qui joue.
numération décimale, énigme, séquence, algorithme, opérations, déduction, équation
Points attribués sur 841 copies de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 237 (41%) | 171 (29%) | 62 (11%) | 54 (9%) | 60 (10%) | 584 | 1.19 |
| Cat 9 | 55 (38%) | 39 (27%) | 16 (11%) | 19 (13%) | 15 (10%) | 144 | 1.31 |
| Cat 10 | 25 (22%) | 26 (23%) | 7 (6%) | 11 (10%) | 44 (39%) | 113 | 2.2 |
| Total | 317 (38%) | 236 (28%) | 85 (10%) | 84 (10%) | 119 (14%) | 841 | 1.35 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
- Exemples (1, 2 ou 3) donnés pour justifier que le résultat du calcul est bien conforme à ce qui est annoncé.
- Compréhension de la multiplication par 100 du nombre donné, ce qui explique qu’on le retrouve comme centaines du résultat du calcul.
- Une variable (le nombre pensé) et le choix de l’année (2000, année de naissance des élèves). Le problème est alors intermédiaire entre une expression algébrique et des essais numériques. Ce qui en général conduit au résultat.
- Formule à deux variables (avec plus ou moins de succès).
- Traitement numériques de nombreux exemples sur tableur.
- Décomposition formelle du nombre en base 10.
- Un obstacle rencontré est de trop sensibiliser les élèves sur leur âge. De ce fait, ils ont tendance à considérer en priorité leur propre année de naissance (2000) sans chercher à comprendre le calcul qui donne leur âge.
- Une incompréhension de l’énoncé est de prendre le nombre Pi (3,14) au lieu de 314.
C’est un problème classique : trouver un nombre après un algorithme de calcul dont la décomposition permet de trouver la clé donnant un résultat à partir duquel on peut reconstituer les données. Dans ce problème, on trouve un jeu exploitant l’écriture décimale d’un nombre. On y sépare les centaines des dizaines et unités, chaque partie rétablit les nombres donnés. L’intérêt didactique est de faire apparaître la décomposition décimale comme un outil essentiel pour comprendre le succès de l’algorithme proposé.
Celui-ci fait intervenir une multiplication par 4, suivie après addition d’une multiplication par 25. La distributivité de la multiplication sur l’addition donne une multiplication par 100 du nombre pensé. La compréhension de cette propriété conduit à l’explication demandée. Sans elle, la répétition d’exemples est présentée comme argument justificatif de la validité de l’affirmation d’Antoine. Suivant le niveau auquel ce problème est proposé, cet argument peut être retenu ou rejeté.
Groupe fonction (2015). Nombres magiques. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-op51-fr.pdf)
(c) ARMT, 2014-2024