Hirondelles et colombes

Identification

Rallye: 23.I.06 ; catégories: 4, 5 ; domaine: OPZ
Famille:

• ADZ - Additionner des nombres entiers relatifs

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver l’état initial dans deux succession de deux transformations, une diminution respectivement de11 et de 6 puis une augmentation respectivement de 7 et de 11, connaissant l’état final, respectivement de 23 et de 36 ; dans un contexte d’hirondelles et colombes qui s’envolent et qui reviennent sur un fil électrique.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Distinguer précisément les trois grandeurs en jeu : les nombres d’hirondelles, de colombes et d’oiseux.

- Percevoir et organiser dans l’ordre chronologique les variations entre les états successifs de ces trois grandeurs : état initial à l’ouverture de la fenêtre avec un nombre encore inconnu d’oiseaux de chaque espèce ; départ de 11 hirondelles et 6 colombes (première variation) et état intermédiaire plus petit que l’état initial ; arrivée de 7 hirondelles et 11 colombes (deuxième variation) conduisant à l’état final, de 23 hirondelles et 13 colombes, plus grand que l’état intermédiaire. Reconnaître l’objet de la question dans cette succession : l’état initial des oiseaux.

- Traduire les variations par des additions et soustractions et effectuer les calculs correspondants ou opérer sur des dessins ou des objets en recourant au comptage :

• soit par essais et vérifications, organisés ou non, dans l’ordre chronologique;
• soit en remontant dans le temps à partir de 23 pour les hirondelles et 13 pour les colombes en étant bien conscient qu’il s’agit d’utiliser les opérations réciproques des précédentes : 23 – 7 + 11 = 27 et 13 – 11 + 6 = 8;
• soit en combinant les deux variations pour n’en obtenir qu’une seule : « diminution de 4 (11 – 7) » et « augmentation de 5 (11 – 6) » et retour à l’état initial à partir de l’état final.

La démarche peut s’effectuer indépendamment sur chacune des deux grandeurs, nombre d’hirondelles ou de colombes, ou directement sur les nombres d’oiseaux, sommes des valeurs correspondantes des deux grandeurs précédentes. (23 + 13) – (7 + 11) + (11 + 6) = 35

Notions mathématiques

nombres naturels, addition, somme, soustraction, différence, composition, transformation, état initial, état final

Résultats

23.I.06

Points obtenus, sur 1175 classes de 20 sections

Selon les critères d’attribution des points suivants :

• 4 points: Réponse correcte (35 oiseaux) avec une explication claire de la procédure suivie (par exemple, la séquence de calculs, schémas, dessins genre bande dessinée ...)
• 3 points: Réponse correcte (35 oiseaux) avec explications peu claires ou incomplètes (par exemple un des passages d’un état à un autre non décrit dans la succession)
  ou tentatives menées correctement, bien expliquées, mais avec une seule erreur de calcul
  ou réponse 27 hirondelles et 8 colombes avec explications claires
• 2 points: Réponses correcte, sans explications
  ou réponse 27 hirondelles et 8 colombes sans explication
  ou réponse correcte bien expliquée sur une catégorie d’oiseaux
• 1 point: Début de recherche cohérente : une ou deux tentatives infructueuses ou début de raisonnement correct (par exemple calcul de 23 – 7 = 16 hirondelles et 13 – 11 = 2 colombes comme état intermédiaire)
  ou réponse 37 avec bilan des deux variations, 1, mais 36 + 1 au lieu de 36 - 1)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

(Les observations qui suivent sont tirées d’une première analyse a posteriori des copies de Suisse romande et de la section de Cagliari.)

Le problème Hirondelles et colombes est une variante de Les hirondelles (fiche op.53-fr) avec adjonction des colombes et demande de l’état initial des oiseaux. On y retrouve les même procédures que dans le problème d’origine, mais avec une plus grande variété d’erreurs dues aux deux états initiaux, transformations, états finaux et à leur reports sur les nombres totaux d’oiseaux.

Les deux obstacles relevés dans la version simple se retrouvent ici :

- le changement d’opération lorsqu’on revient de l’état final à l’état initial : les envols qui étaient traduits par des soustractions doivent l’être par des additions et les retours, traduits par des additions, doivent l’être par des soustractions ;

- la prise en compte des deux transformations, au retour dans le temps, pour retrouver l’état initial (souvent l’une est oubliée).

Un troisième obstacle est dû à l’abondance de données qu’il s’agit de bien organiser afin de ne pas les confondre ; cette complexité est responsable de nombreuses confusions, en catégorie 4 en particulier. Les données très voisines des transformations : -11 ; -6 ; + 7 ; + 11 ; n’arrangent pas les choses, (surtout que, comme l’ont fait plusieurs groupes, si l’on additionne les quatre valeurs absolues de ces transformations, on obtient 35, qui est la réponse exacte du problème !)

On relève quelque copies avec dessins des oiseaux, mais très peu efficaces.

Une démarche attendue consistait à s’intéresser au nombre d’oiseaux, selon la demande du problème, et d’annuler les 11 de retour par les 11 envolés pour compenser les 6 envolés par les 7 de retour et gagner un oiseau

Exploitations didactiques

Le problème assez difficile pour la catégorie 4 semble bien adapté pour la catégorie 5, sans explications ou aides préalables. La grande variété des omissions ou confusions relevées à l’analyse des copies permet de penser qu’il en sera de même si le problème est donné en classe, d’où l’intérêt d’une discussion et d’une validation collectives des solutions.

Avec la combinaison des diminutions et augmentations puis de leur synthèse, on peut imaginer de profiter de cette situation pour insister sur l’associativité de l’addition, d’aborder l’association de nombres opposés et de préparer ainsi le terrain pour introduire de nouveaux nombres ; comme en témoignent de nombreuses copies où les élèves n’hésitent pas à utiliser spontanément des écritures de nombres négatifs.

Voir les nombreux autres problèmes de la famille NR / ADD dans laquelle figurent les problèmes de type « état »- « transformation » - « état », en particulier Les hirondelles, avec la même structure mais une seule sorte d’oiseaux.

Pour aller plus loin

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