Nains sur la balance

Identification

Rallye: 20.F.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver trois nombres naturels dont on connaît les trois sommes de deux d'entre eux (39, 43, 46), dans un contexte de pesées à plusieurs sur une balance.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que l'action de monter sur une balance fait apparaître un nombre, sa masse (ou son poids) et que lorsqu'on y monte à deux, le nombre affiché se traduit, dans le cadre numérique, par le résultat de l'addition des deux masses, indépendamment de celui qui porte l’autre (commutativité). La première tâche est donc de passer du contexte des montées sur la balance aux trois additions A + D = 46, D + J = 43 et A + J = 39 (d'un point de vue algébrique, il s'agit d'un système système de trois équations linéaires à trois inconnues).

- Procéder par essais et constater que, pour la première addition, A + D = 46, il y a de nombreuses possibilités allant de 1 + 45, 2 + 44 ... à 45 + 1 puis faire intervenir les deux autres additions pour déterminer une masse de J qui les vérifie. Il paraît assez vraisemblable, au vu des données 46, 43 et 39, de choisir des masses proches de 20 pour les essais. Par tâtonnements on peut ainsi arriver à la solution: Atchoum 21 kg, Dormeur 25 kg et Joyeux 18 kg, sans être conscient qu'elle est unique.

Ou, par une organisation des essais on peut arriver à la solution avec la certitude de l'unicité, au vu de son approche progressive. Par exemple, en partant d'un poids possible d'Atchoum (10), en calculant celui de Dormeur (36) selon A + D = 46, puis celui de Joyeux 29 issu de A + J = 39 et en le comparent à celui de Joyeux (7) issu de D + J = 43,on se rend compte que ces deux derniers ne correspondent pas. en partant d'autres choix pour A on voit que les écarts diminuent entre les deux résultats pour J qui sont les mêmes (18) pour un choix de 21 pour A.

  Atchoum    10  15  20  21 
  Dormeur    36  31  26  25
  Joyeux(I)  29  24  19  18
  Joyeux(II)  7  12  17  18

Mais cette organisation systématique des données est complexe car elle fait intervenir trois variations simultanées.

Ou, par une procédure préfigurant celle de la résolution du système d'équation par substitution : constater que D figure dans les deux premières pesées, avec A pour 46 kg et avec J pour 43 kg et en déduire que la différence de 3 kg entre les deux pesées vient d’une différence entre A et J et que A vaut 3 de plus que J. Par substitution dans la troisième addition A + J = 39, le problème revient à chercher deux nombres dont l'un vaut 3 de plus que l'autre et dont la somme est 39 ou à chercher le petit des deux nombres dont on sait que le double auquel on ajoute 3 est 39 ou encore à calculer la moitié de 36 pour arriver à 18, masse de J. Remonter finalement à A = 18 + 3 = 21, puis à D = 46 - 21 =25 ou 43 - 18 = 25.

Ou, par une autre procédure préfigurant celle de la résolution du système d'équations par addition: observer que A, D et J interviennent chacun deux fois dans les trois pesées et que la somme 46 + 43 + 39 = 128 est par conséquent le double de la somme des masses des trois nains: 64 kg. On en tire immédiatement de chacune des sommes partielles, la masse de chaque nain par complément à 64.

Notions mathématiques

Addition, somme, soustraction, différence, double, moitié, système d'équations, égalité, substitution,

Résultats

20.F.07

Points attribués, sur 157 copies de 17 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète et correcte (Joyeux, 18 ; Atchoum, 21 ; Dormeur, 25 en kg) avec explications claires
• 3 points: Réponse complète et correcte, mais avec des explications confuses ou partielles, ou seulement une vérification (21 + 25 = 46, 25 + 18 = 43 et 18 + 21 = 39)
• 2 points: Réponse complète et correcte sans explications ni vérification
  ou raisonnement correct avec une erreur de calcul
• 1 point: Début de raisonnement qui montre seulement une ou toutes les différences entre deux nains, sans arriver au calcul des poids
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Premiers commentaires

On relève une progression sensible de la catégorie 4 (avec une moyenne de 1,3 point et 50% d'incompréhension du problème) à la catégorie 6 (où la moyenne passe à 2,3 et les incompréhensions tombent à 25%. On peut donc considérer que, au vu de ces résultats qui sont ceux de classes finalistes, le problème est très difficile en catégorie 4.

L'analyse de la tâche précédente montre en effet l'exigence d'une prise en compte simultanée de trois relations avec trois grandeurs encore indéterminées. La difficulté ne se situe pas au niveau des techniques opératoires (addition de nombres naturels inférieurs à 30) mais à celui de la gestion systématique des essais ou de la chaîne de déductions logiques permettant d'arriver à la solution selon une démarche pré-algébrique.

Ce sont des observations de copies d'élèves ou de nouvelles expérimentations du problème qui pourraient en dire plus sur les obstacles et les procédures.

Exploitations didactiques

On peut envisager de reprendre ce problème comme approche des démarches algébriques car les relations ou équations sont simples et ne nécessitent pas de grandes connaissances du calcul littéral.

Voir aussi le problème Les nains se pèsent

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