Banque de problèmes du RMT
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Dans une suite de transformations additives (additions et soustractions) qui conduit de 5 à 20 par sept additions de 3 et des soustractions de 2, trouver le nombre de ces dernières; dans le contexte du nez de Pinocchio qui s'allonge ou rétrécit.
- De l’histoire bien connue de Pinocchio, transposer l'énoncé en une suite d'opérations arithmétiques partant d'une longueur de 5 cm au départ et aboutissant à une longueur de 20 cm, par des additions de 3 et des soustractions de 2.
- Se rendre compte qu'on ne connaît pas l'ordre dans lequel s'effectuent ces opérations à partir de 5, mais qu'on sait qu'il y a 7 additions de 3 et qu'il faudra trouver le nombre, encore indéterminé, de soustractions de 2 pour arriver à 20.
- Utiliser éventuellement un support ou un modèle pour représenter la situation ; par exemple une ligne graduée sur laquelle noter les différentes positions ou des flèches dans un sens et d'autres dans le sens contraire.
Il y a plusieurs procédures manières d'aborder la tâche des calculs :
- Par essais, pas à pas, en partant de 5 et en effectuant des additions (allongements) de 3 et des soustractions (diminutions), pour chercher à atteindre 20 après sept additions et constater que trois soustractions sont nécesaires. C'est au cours de ces essais qu'on peut se rendre compte que l'ordre des sept additions et des trois soustractions n'a pas d'influence sur le résultat (à l'exception du cas où les trois soustractions interviendraient en premier, ce qui n'est pas possible à réaliser).
- En percevant la structure temporelle des allongements et réductions : calculer que les 7 mensonges correspondent à un allongement de 7 × 3 = 21 (cm) qui conduit à 5 + 21 = 26 (cm) ; calculer la différence 26 - 20 = 6 cm et finalement, chercher le nombre de réductions de 2 cm pour obtenir ces 6 cm, par une division (6 : 2 = 3) ou une multiplication lacunaires (2 × … = 6). (Cette procédure correspond à la résolution de l’équation 5 + 21 – 2x = 20)
- La différence de 6 cm peut aussi être déterminée entre l’allongement 7 × 3 = 21 (cm) et les 15 = 20 – 5 (cm) de l’augmentation globale.
arithmétique, addition, soustraction, nombre relatif, compensation, déduction, associativité, commutativité, composition, transformation
Les résultats des premières éditions du RMT n'étaient pas regroupés et ne faisaient pas l'objet de statistiques.
Pour ce problème, on peut cependant se référer à la publication citée en bibliographie (Grugnetti et Dupuis, 1999-2000). Le chapitre sur l’analyse a posteriori précise:
"L’analyse des copies (environ 200) permet d’affirmer que le problème a été bien compris et résolu correctement, tant en Suisse qu’en Italie, par environ 70% des classes. Sur le reste de 30%, les cas d’incompréhension ou de réponses complètement fausses sont rares dans les différentes régions, mais symptomatiques d’erreurs, difficultés ou conceptions inadéquates bien connues de la recherche en didactique..."
Points attribués sur 104 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 11 (22%) | 4 (8%) | 2 (4%) | 11 (22%) | 22 (44%) | 50 | 2.58 |
| Cat 4 | 5 (9%) | 4 (7%) | 0 (0%) | 4 (7%) | 41 (76%) | 54 | 3.33 |
| Total | 16 (15%) | 8 (8%) | 2 (2%) | 15 (14%) | 63 (61%) | 104 | 2.97 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Une majorité de procédures qui ont conduit à la réponse correcte sont de type arithmétique:
- une suite d'additions et de soustractions comme, par exemple:
5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 26 26 - 2 = 24 24 - 2 = 22 22 - 2 = 20
- une suite d'opérations où apparaissent la multiplication et la division, comme par exemple:
7 × 3 = 21 21 : 5 = 26 26 - 20 = 6 6 : 2 = 3
- les mêmes opérations avec un usage désinvolte du signe =
7 × 3 = 21 + 5 = 26 - 20 = 6 : 2 = 3
- par un récit du genre:
En tout, il a dit trois vérités.
Nous avons ajouté aux 5 cm du nez de Pinocchio 7 fois 3 cm, les sept fois correspondent aux mensonges et les 3 cm à l’allongement du nez à chaque mensonge et nous avons trouvé 26 cm et aux 26 cm nous avons retiré les 2 cm des vérité jusqu’à ce que nous arrivions à 20. Nous avons compté combien il y avait de 2 et nous avons trouvé trois nombres 2 et alors il a dit trois fois la vérité.
La réponse correcte est aussi trouvée graphiquement ou par une procédure mixte:
- la représentation des déplacements sur un axe gradué avec des marques indiquant les mensonges et les vérités, avec le dessin du nez et de ses allongements, par une série de flèches dans un sens surmontée d'un "+3" et d'autres en sens opposé surmontées d'un "-2", ...
On relève aussi des procédures reposant sur un premier calcul de la différence entre 20 et 5 et la recherche d'une suite d'additions de 3 et de soustractions de 2 pour obtenir 15.
Les incompréhensions du problème sont rares. Il s'agit en général de la difficulté à "donner du sens" à la situation, c'est-à-dire à imaginer ou reconstituer "l'histoire" du nez et de ses variations. Les élèves font alors appel à des convictions du genre: un problème doit avoir une solution ou il est nécessaire d'utiliser toutes les données et effectuent des opérations avec tous les nombres qu'ils trouvent dans l'énoncé sans se soucier de leur nature.
Par exemple: (Catégorie 5)
1) 7 x 5 = 35 (mensonges durant toute la journée)
2) 35 – 20 = 15
3) 15 : 2 = 7,5 qui sont les vérités.
l’opération no 1 est 7 mensonges fois 5, la mesure du nez, et comme cela j’ai trouvé 35 mensonges en tout. Puis j’ai fait l’opération no 2 : les mensonges dits dans toute la journée moins la mesure du nez de Pinocchio a la fin de la journée et alors le résultat 15 est la mesure de combien le nez de Pinocchio s’est raccourci. Enfin, pour l’opération no 3, j’ai divisé par 2 la mesure de combien le nez s’est raccourcir, la mesure de combien chaque vérité fait raccourcie le nez et j’ai trouvé le nombre de vérités : 7,5.
Les confusions les plus fréquentes sont celles entre la nature des nombres. Par exemple, soustraire des nombres de mensonges à des des mesures de longueur en cm:
Nous avons enlevé aux 20 cm du nez de Pinocchio(à la fin de la journée) les 7 mensonges qu’il avait dits et nous avons trouvé 13 comme résultat. Nous avons fait une soustraction pour vérifier que nous trouvons comme résultat, 7, qui sont les mensonges qu’il avait dits. Pinocchio a dit 13 vérités.
Les fautes de calcul sont très peu nombreuses. Il y a quelques erreurs dues à des oublis, à des confusions entre la longueur initiale (5 cm) et celles des allongements (3 cm).
Comme tous les problèmes de suites d’opérations additives, Le nez de Pinocchio peut être exploité en classe pour une confrontation des procédures de résolution adoptées par les groupes d'élèves.
L'intérêt est de constater qu'il y a plusieurs manières d'aborder la résolution qui peuvent aller des déplacements successifs sur un support graphique (droite numérique) à une répétition d'additions et de soustractions ou à une démarche plus globale encore par le passage à la multiplication et à la division.
L'analyse des différentes écritures arithmétiques des opérations permet de sensibiliser les élèves à leurs propriétés: commutativité, distributivité (dans le passage de la suite d'additions à une multiplication, ou de soustractions successives à une division).
Grugnetti, L., Dupuis, C. Il naso di Pinocchio, Un problema inverso di aritmetica / Le nez de Pinocchio, un problème “inverse” d'arithmétique. In Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transapino Siena 1999 - Neuchâtel 2000.
(c) ARMT, 1999-2024