Banca di problemi del RMT
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Calcolare la somma della metà e dei due terzi di un numero sapendo che la somma della metà e di un terzo di questo numero è uguale a 60.
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- Appropriarsi della situazione: capire che ci sono due ceste con lo stesso numero di frutti (mele o pere) e che nella prima cesta la metà dei frutti sono pere, mentre nella seconda cesta le pere sono la terza parte dei frutti in essa contenuti.
- Tenere presente che le pere sono in tutto 60, ma che non si conosce né il numero totale delle mele, né quello totale dei frutti.
- Procedere per via grafica: per esempio, rappresentare le due ceste con due rettangoli uguali suddivisi nello stesso numero di parti, in modo da poterne prendere la metà nella prima e la terza parte nella seconda. Dividere quindi i due rettangoli in 6 parti (minimo comune multiplo di 2 e di 3) ed evidenziare le parti rappresentate dalle pere nella prima e seconda cesta, rispettivamente:
- Osservare che le parti colorate, che rappresentano le pere nelle due ceste, formano 5 parti su 12 dell’insieme delle due ceste. Dedurne che le 60 pere corrispondono ai 5/12 dell’insieme dei frutti:.
- Calcolare quanti frutti corrispondono a 1/12: 60 / 5 = 12; ricavare quindi che i frutti sono in tutto 12×12 = 144 e che di conseguenza le mele sono 84 (= 144 – 60).
- Oppure, dal fatto che le pere sono i 5/12 dell’insieme dei frutti, dedurre che le mele sono i rimanenti 7/12, cioè 84 (=12×7).
Oppure, per tentativi, considerare un numero intero di pere più piccolo di 60 nella prima cesta, per esempio 20. Constatare che questo numero non va bene perché 40 frutti nella prima cesta e 120 nella seconda contraddicono la prima informazione “le due ceste contengono lo stesso numero di frutti”. Ottenere infine che con 36 pere e 36 mele nella prima cesta, 24 pere e 48 mele nella seconda cesta si ha un totale di 36 + 48 = 84 mele.
Oppure, comprendere che entrambe le frazioni 1/2 e 1/3 si riferiscono allo stesso numero di frutti, esattamente la metà dell’insieme dei frutti Nella prima cesta c’è la metà delle pere, che corrisponde a un quarto del totale dei frutti, nella seconda cesta c’è un terzo delle pere, che corrisponde a un sesto del totale dei frutti. Le 60 pere corrispondono allora a 1/4 + 1/6 di tutti i frutti, cioè i 5/12, quindi le mele corrispondono ai 7/12 di 60 × 12/5= 84. Ines ha perciò raccolto 84 mele.
Oppure, tenendo conto delle indicazioni, cercare un numero divisibile per 2 e per 3 più grande di 60 e tale che la sua metà più il suo terzo sia uguale a 60. Tra i multipli di 6 si trova in fretta 72 come numero di frutti di ogni paniere. Si ricava poi che ci sono 36 mele nella prima cesta, mentre nella seconda ce ne sono 48, i due terzi di 72, ciò che porta ad un totale di 84 mele.
- Algebricamente, si può arrivare allo stesso risultato impostando un’equazione del tipo: 1/2x + 1/3x = 60, da cui si ricava che x = 72, numero di frutti di ciascuna cesta. Il numero delle mele è quindi: (72 : 2) + (2/3) × 72= 84.
Punteggi attribuiti su 1069 classi di 15 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 247 (33%) | 76 (10%) | 55 (7%) | 90 (12%) | 273 (37%) | 741 | 2.09 |
| Cat 9 | 38 (22%) | 21 (12%) | 10 (6%) | 12 (7%) | 89 (52%) | 170 | 2.55 |
| Cat 10 | 32 (20%) | 10 (6%) | 10 (6%) | 16 (10%) | 90 (57%) | 158 | 2.77 |
| Totale | 317 (30%) | 107 (10%) | 75 (7%) | 118 (11%) | 452 (42%) | 1069 | 2.26 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2016-2024