Banca di problemi del RMT
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Trovare il più grande numero minore di 30 che può essere scomposto esattamente in cinque modi diversi nel prodotto di due numeri naturali e calcolare il complemento a 30 di tale numero.
- Verificare, per esempio, che ci sono 8 ripartizioni possibili per 30 cioccolatini, 2 ripartizioni per 29, e comprendere che occorre continuare a cercare quante ripartizioni ci sono per 28 cioccolatini, poi per 27, … finché si trova un numero di cioccolatini che permette esattamente 5 ripartizioni diverse.
- Capire che ogni volta che Zoe mangia un cioccolatino occorre ricominciare, con quelli che restano, la ricerca di una ripartizione in sacchetti contenenti lo stesso numero di cioccolatini.
- Trovare che, con 28 cioccolatini ci sono sei ripartizioni possibili: (1 × 28, 2 × 14, 4 × 7, 7 × 4, 14 × 2, 28 × 1)
- Continuare allo stesso modo con 27 (quattro ripartizioni: 1 × 27, 3 × 9, 9 × 3, 27 × 1) ; con 26 (quattro ripartizioni: 1 × 26, 2 × 13, 13 × 2, 26 × 1) ; 25 (tre ripartizioni: 1 × 25, 5 × 5, 25 × 1) ; 24 (otto ripartizioni: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, …) ; con 23 (due ripartizioni: 1 × 23,…); con 22 (quattro ripartizioni: 1 × 22, 2 × 11, …) ; con 21 (quattro ripartizioni: 1 × 21, 3 × 7, …) ; con 20 (sei ripartizioni: 1 × 20, 2 × 10, 4 × 5 …); con 19 (due ripartizioni: 1 × 19,…), 18 (sei ripartizioni: 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 …); con 17 (due ripartizioni: 1 × 17,…), con 16 (cinque ripartizioni: 1 × 16, 2 × 8, 4 × 4 ; 8 × 2, 16 × 1).
- Constatare che 16 è il più grande numero minore di 30 che può essere scomposto esattamente in cinque modi diversi : Calcolare infine che Zoe ha mangiato 14 cioccolatini: 30 – 16 = 14.
Oppure:
- Fare dei tentativi non sistematici con numeri che, a stima, potrebbero soddisfare la condizione.
Nota: in una procedura o nell’altra, gli alunni possono, dopo numerosi tentativi, constatare che tutti i numeri sono scomponibili in due prodotti dove i fattori sono 1 e il numero stesso e quindi restringere la loro ricerca a numeri che possono essere scomposti in altri tre prodotti oltre a questi due
Oppure: Sempre dopo numerosi tentativi, gli allievi possono constatare che ogni volta che scompongono il numero nel prodotto di due fattori differenti, c’è un secondo prodotto con gli stessi fattori e dunque dedurre che affinché il numero di prodotti sia dispari, è necessario che il numero sia scomponibile nel prodotto di un numero per se stesso (cioè che il numero sia un quadrato).
Nota: non è prevedibile per le categorie a cui il problema è proposto, una procedura risolutiva che si appoggi su una tecnica atta a fornire il numero di divisori di un intero n, per n minore di 30.
Punteggi attribuiti su 180 classi di 17 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 12 (24%) | 10 (20%) | 3 (6%) | 7 (14%) | 17 (35%) | 49 | 2.14 |
| Cat 6 | 10 (15%) | 4 (6%) | 6 (9%) | 20 (31%) | 25 (38%) | 65 | 2.71 |
| Cat 7 | 3 (5%) | 1 (2%) | 8 (12%) | 29 (44%) | 25 (38%) | 66 | 3.09 |
| Totale | 25 (14%) | 15 (8%) | 17 (9%) | 56 (31%) | 67 (37%) | 180 | 2.69 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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