Les grilles

Identification

Rallye: 25.I.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: OPN, FN
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

Dans une suite de grilles dont les quatre premières sont dessinées (1 × 3 ; 2 × 4 ; 3 × 5 ; 4 × 6 ) et le nombre de carreaux indiqué (3 ; 8 ; 15 ; 24), vérifier s’il est possible de trouver des grilles de 112 et 224 carreaux.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Observer les grilles déjà dessinées et comprendre la règle de construction.

- Essayer de dessiner d'autres grilles en ajoutant toujours une rangée et une colonne de carrés pour voir si on réussit à obtenir celles avec le nombre de carrés indiqués.

- Dénombrer à chaque dessin tous les carrés ou en calculer le nombre et constater qu’on ne peut pas faire une grille avec 112 carrés, mais que c’est possible avec 224 carrés et trouver ainsi la réponse. Cette procédure est longue et fastidieuse, mais pas impossible.

Ou, observer les régularités qu’on retrouve d’une grille à l’autre. Noter par exemple que la différence des nombres de carrés entre la longueur et la largeur est toujours de 2, (3 – 1 ; 4 – 2 ; 5 – 3 ; 6 – 4 ; …), ou que pour passer d’une grille à l’autre longueur et largeur augmentent chacune de 1. A partir de ce constat, effectuer une série de multiplications dans lesquelles la différence entre les deux facteurs est de 2 et voir si parmi les résultats obtenus figurent les nombres cherchés : 7 x 5 = 35 ; 8 x 6 = 48 ; 9 x 7 = 63 ; 10 x 8 = 80 ; 11 x 9 = 99 ; 12 x 10 = 120 ; … ; 16 x 14 = 224. Constater que le nombre 112 n’apparait pas, alors que 224 apparait.

Ou, observer à partir de la première grille que les nombres de carrés des grilles successives s’obtiennent en ajoutant 5, 7, 9, 11, ... carrés au nombre de carrés de la grille précédente : 3 + 5 = 8 ; 8 + 7 = 15 ; 15 + 9 = 24. Les nombres (5, 7, 9, 11) représentent les différences entre le nombre de carrés d’une grille et le nombre de carrés de la grille précédente. Construire éventuellement d’autres grilles pour vérifier que la différence augment à chaque fois de 2. A partir de ce constat, effectuer une série d’additions en partant du dernier nombre de carrés indiqué dans les exemples auquel il faut ajouter 11. Continuer ainsi, et vérifier si parmi les nombres obtenus figurent ceux recherchés : 24 + 11 = 35 ; 35 + 13 = 48 ; 48 + 15 = 63 ; … ; 80 + 19 = 99 ; 99 + 21 = 120 ; … ; 195 + 29 = 224.

Conclure qu’on ne peut pas construire une grille avec 112 carrés, mais que c’est possible avec 224 carrés.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, somme, multiplication, produit, terme, suite, progression, fonction du 2e degré, vérification

Résultats

25.I.06

Points attribués, sur 3209 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (non pour 112, oui pour 224) avec des explications claires et complètes (dessins, détails des calculs effectués, observations commentées des grilles...) qui permettent de comprendre la procédure utilisée
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes ou peu claires (absence de quelques calculs, de quelques étapes, commentaires sommaires pas suffisamment explicites, …)
• 2 points: Les deux réponses correctes sans explications
  ou une seule réponse correcte (l’autre erronée suite à une erreur de calcul ou de dénombrement) avec des explications qui permettent de comprendre la procédure utilisée
• 1 point: Les deux réponses sont erronées suite à des erreurs de calcul, mais la procédure utilisée est correcte
  ou une des deux réponses est correcte et bien expliquée et l'autre est erronée suite à une erreur de raisonnement (par exemple, comme ce n’est pas possible de construire une grille avec 112 carrés on en déduit qu'il n’est pas possible d’en construire une avec 224 carrés car 224 est le double de 112).
• 0 point: Incompréhension du problème

Ce problème est une variante de Grilles (08.II.05) avec des modifications mineures. Les moyennes de point obtenues, pour les catégories correspondantes, sont très proches.

Bibliographie

Groupe fonction (2018). Les grilles. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-op88-fr.pdf)

ou Rizza. A, Henry.M Les grilles In la Gazette de Transalpie n° 9, pp. 125-140).