Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop88-fr |
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Dans une suite de grilles dont les quatre premières sont dessinées (1 × 3 ; 2 × 4 ; 3 × 5 ; 4 × 6 ) et le nombre de carreaux indiqué (3 ; 8 ; 15 ; 24), vérifier s’il est possible de trouver des grilles de 112 et 224 carreaux.
Analyse de la tâche a priori
- Observer les grilles déjà dessinées et comprendre la règle de construction.
- Essayer de dessiner d'autres grilles en ajoutant toujours une rangée et une colonne de carrés pour voir si on réussit à obtenir celles avec le nombre de carrés indiqués.
- Dénombrer à chaque dessin tous les carrés ou en calculer le nombre et constater qu’on ne peut pas faire une grille avec 112 carrés, mais que c’est possible avec 224 carrés et trouver ainsi la réponse. Cette procédure est longue et fastidieuse, mais pas impossible.
Ou, observer les régularités qu’on retrouve d’une grille à l’autre. Noter par exemple que la différence des nombres de carrés entre la longueur et la largeur est toujours de 2, (3 – 1 ; 4 – 2 ; 5 – 3 ; 6 – 4 ; …), ou que pour passer d’une grille à l’autre longueur et largeur augmentent chacune de 1. A partir de ce constat, effectuer une série de multiplications dans lesquelles la différence entre les deux facteurs est de 2 et voir si parmi les résultats obtenus figurent les nombres cherchés : 7 x 5 = 35 ; 8 x 6 = 48 ; 9 x 7 = 63 ; 10 x 8 = 80 ; 11 x 9 = 99 ; 12 x 10 = 120 ; … ; 16 x 14 = 224. Constater que le nombre 112 n’apparait pas, alors que 224 apparait.
Ou, observer à partir de la première grille que les nombres de carrés des grilles successives s’obtiennent en ajoutant 5, 7, 9, 11, ... carrés au nombre de carrés de la grille précédente : 3 + 5 = 8 ; 8 + 7 = 15 ; 15 + 9 = 24. Les nombres (5, 7, 9, 11) représentent les différences entre le nombre de carrés d’une grille et le nombre de carrés de la grille précédente. Construire éventuellement d’autres grilles pour vérifier que la différence augment à chaque fois de 2. A partir de ce constat, effectuer une série d’additions en partant du dernier nombre de carrés indiqué dans les exemples auquel il faut ajouter 11. Continuer ainsi, et vérifier si parmi les nombres obtenus figurent ceux recherchés : 24 + 11 = 35 ; 35 + 13 = 48 ; 48 + 15 = 63 ; … ; 80 + 19 = 99 ; 99 + 21 = 120 ; … ; 195 + 29 = 224.
Conclure qu’on ne peut pas construire une grille avec 112 carrés, mais que c’est possible avec 224 carrés.
nombre naturel, addition, somme, multiplication, produit, terme, suite, progression, fonction du 2e degré, vérification
Points attribués, sur 3209 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 331 (38%) | 119 (14%) | 102 (12%) | 94 (11%) | 230 (26%) | 876 | 1.74 |
| Cat 5 | 258 (28%) | 109 (12%) | 124 (13%) | 115 (12%) | 329 (35%) | 935 | 2.16 |
| Cat 6 | 387 (28%) | 123 (9%) | 192 (14%) | 199 (14%) | 497 (36%) | 1398 | 2.21 |
| Total | 976 (30%) | 351 (11%) | 418 (13%) | 408 (13%) | 1056 (33%) | 3209 | 2.07 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Ce problème est une variante de Grilles (08.II.05) avec des modifications mineures. Les moyennes de point obtenues, pour les catégories correspondantes, sont très proches.
Groupe fonction (2018). Les grilles. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-op88-fr.pdf)
(c) ARMT, 2017-2024