Banque de problèmes du RMT
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Faire correspondre les termes de deux suites proportionnelles (dans le désordre) 6, 7, 8, 9 et 18, 21, 27 et calculer le correspondant du 4e terme de la première, dans un contexte de figures sur quadrillages et de pots de peinture. Plusieurs variantes proposées.
Pour résoudre ce problème, il faut tout d’abord remarquer que deux grandeurs y interviennent : la quantité de pots de peinture et l'aire des différentes figures. Pour trouver la solution, il est nécessaire de mettre en relation ces deux grandeurs. Mais à aucun moment dans l'énoncé du problème, une marche à suivre n’est donnée. Il n'y a, en effet, aucune mention de la notion de «calcul d'aire» ou d'une opération quelconque à utiliser.
Avant d'établir la correspondance des grandeurs, il faut déterminer les mesures des aires; en procédant par pavage et en choisissant une unité d'aire - le carré ou le triangle (demi-carré). En carrés unités, le « double carré » a une aire de 6, l'octogone de 7, le rectangle de 8 et le triangle de 9. Il y a quatre mesures d'aires et trois nombres connus de pots. Il y a donc plusieurs hypothèses sur la « position » du nombre inconnu de pots, qu'on peut illustrer par le tableau suivant où les mesures d'aires sont à chaque fois classées de la plus petite à la plus grande :
Hypothèse A
6 7 8 9 ? 18 21 27
Hypothèse B
6 7 8 9 18 ? 21 27
Hypothèse C
6 7 8 9 18 21 ? 27
Hypothèse D
6 7 8 9 18 21 27 ?
Le choix de l’hypothèse est la tâche essentielle du problème.
Les élèves peuvent utiliser le « lien fonctionnel », qui est une multiplication par 3, entre les nombres de carrés et les nombres de pots, parce que les nombres 18, 21 et 27 sont familiers et reconnus comme multiples de 3. Dans ce cas, si on considère 3 « pots par carré » comme le coefficient de proportionnalité, obtenu par les rapports 18/6 = 21 / 7 = 27 / 9, on trouve 24 (3 x 8) pots pour la figure de 8 carrés, noire.
On peut aussi s’appuyer sur la régularité de la suite 6, 7, 8, 9 qu'on cherche à reproduire sur la suite 18, 21, 27 en laissant un espace entre le 21 et le 27. Cette procédure conduit aussi à la bonne réponse, dans ce cas particulier, mais sans s'être assuré que les propriétés de la proportionnalité soient vérifiées. (Voir les variantes du problème, dans les exploitations didactiques)
nombres naturels, multiplication, division, proportionnalité, multiples, facteur de proportionnalité, coefficient de proportionnalité, aire, propriétés de proportionnalité
Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.
Résultats de 130 classes de Suisse romande à ce problème :
Nombre de classes Nombre de classes Nombre total de classes Taux de réussite
ayant réussi ayant échoué
Cat. 5 37 15 52 0,71
Cat. 6 32 10 42 0,76
Cat. 7 33 3 36 0,92
Les pourcentages de réussite progressent de 71 à 92 de la cinquième année à la septième.
Les trois parties du problème : la détermination des mesures d'aires, le calcul du nombre de pots et la détermination des couleurs sont dépendantes les unes des autres (il n'est possible de répondre aux deux dernières si on n'a pas répondu correctement à la première).
L’analyse des différentes procédures utilisées par les élèves pour trouver les nombres de pots (le mesurage des aires n’ayant pas posé de problème particulier) montre que la procédure « fonctionnelle » , c'est-à-dire le passage par le "facteur de proportionnalité" ×3, a été la plus utilisée (102 copies, 79 %). C’était la plus économique pour ce problème.
Parmi les réponses faisant état de cette procédure, 75 montrent qu’une multiplication par 3 a été effectuée pour trouver le nombre de pots de peinture et 27 copies présentent une division par 3 pour trouver à quelle couleur correspondait chaque figure. Il faut relever que la multiplication correspond à l’ordre de lecture de la consigne qui présente les figures avant les nombres de pots. En ce qui concerne les procédures par reproduction de régularités, utilisées par 17 classes (13%), on constate que 11 d’entre elles font référence à un écart de 3 dans la suite des nombres de pots, mais 8 seulement montrent qu’il y a un lien entre ces écarts et ceux de 1 dans la suite des mesures d’aire.
L’activité a été reprise avec des élèves plus jeunes, de 4e année, chez qui les procédures par reproductions de régularités ont été plus fréquentes.
Le problème peut être proposé à des élèves, dès les catégories 4 et 5. La détermination des aires ne présente plus d'obstacle dans cette situation où l'unité qui s'impose naturellement est l'aire du carré du quadrillage et où les seules conversions sont le passage des demi carrés de forme triangulaire aux carrés.
Les nombres de pots donnés, 18, 21, 27 sont reconnus facilement comme des multiples de 3, et, par conséquent, la correspondance avec les aires, 6, 7 et 9 est immédiate et aboutit à la correspondance entre 8 carreaux et 24 pots. La réponse "24 pots" ne signifie donc pas que le rapport de proportionnalité a été perçu explicitement. Elle peut avoir été trouvée simplement parce qu'elle est évidente. Il faudrait au moins qu'elle soit accompagnée d'une explicitation du rapport, du genre "on a vu qu'il y a trois pots par carreau".
Des variantes du problème ont permis d'en savoir plus:
Dans l'une, on a conservé l’aire des figures (carreaux) mais on a modifié le nombre de pots afin qu'ils ne soient plus reconnus immédiatement comme ceux de la table de multiplication traditionnelle: 72 rouge, 84 bleu, 96 jaune. Les quatre aires ordonnées sont les nombres naturels successifs: 6, 7, 8, 9 et les nombres de pots ordonnés sont 72, 84, 96, trois multiples successifs de 12.
Les expérimentations de cette variante ont montré, jusqu'en catégories 6 et 7, que la réponse 60 est aussi fréquente que la réponse 108.
Les élèves qui ont procédé par reproduction des écarts constants: de 1 dans la suite des mesures d'aires, et de 12 dans la suite des nombres de pots, pouvaient aboutir à la suites 60, 72, 84, 96 en reportant l'écart de 12 en début de suite, ou à la suite 72, 84, 96, 108 en reportant l'écart de 12 en fin de suite.
Dans le premier cas, le rapport des termes correspondants n'est pas constant : 60 /6 = 10; 72 / 7 = 10,28... ≠ 10, …
Dans le second cas, le rapport est constant et correspond à 12 pots par carré.
Il faut donc aller au-delà de la réponse et diagnostiquer le type de raisonnement par des questions complémentaires par des variantes du problèmes ou d’autres problèmes de la même famille de tâches.
Voir rubrique suivante Pour aller plus loin
Trois variantes du problème Décoration » ont été largement expérimentées.
Elles ne diffèrent que par l’aire des figures (carreaux) et par le nombre de pots, mais avec une question supplémentaire par rapport au problème d’origine :
Pour chacune d’elles, une cinquième figure, un rectangle plus grand, est proposée aux élèves après qu’ils ont rédigé leur résolution, pour vérifier s'ils utilisent ou non le rapport de proportionnalité déterminé lors de la recherche de la correspondance des couples.
Dans la même famille de tâche, on trouve d’autres problèmes :
Faire correspondre les termes de deux suites proportionnelles (dans le désordre) 16, 24, 28, 36 et 540, 630, 810 et calculer le correspondant du 4e terme de la première, dans un contexte de dénombrements d'objets et de masses.
Faire correspondre les termes de deux suites proportionnelles (dans le désordre) : 24, 36, 40, 60, 100 et 27, 45, 75 et calculer les correspondants des 4e et 5e termes de la première, dans un contexte d'échanges.
Faire correspondre les termes de deux suites proportionnelles (dans le désordre) : 76 Trois variantes du problème Décoration ne diffèrent que par l’aire des figures (carreaux) et par le nombre de pots, mais avec une question supplémentaire par rapport au problème d’origine :
Jaquet F. 2001, Approche méthodologique et didactique du thème « Applications », dans Mathématiques, cinquième année Méthodologie – Commentaires, 174-175, Corome, Neuchâtel.
Jaquet F. 2004, Raisonnement proportionnel et intuition ou la proportionnalité et ses pièges, l’Educazione matematica 2, (Ed. CRSEM)1-26.
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Vernex, M. : 2001, ‘Analyse et utilisation en classe du problème « Décoration » du 9e RMT’, Math-Ecole 198, 4-18. http://www.revue-mathematiques.ch/consultation/
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