Banque de problèmes du RMT
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Calculer la durée d’un travail (de 99 u) fait à trois personnes avec chacune une vitesse (8, 6, 4 u/h), et des durées différentes (1 ; ½ ; ¼), dans un contexte de récolte de pommes.
- Percevoir et distinguer les trois grandeurs en jeu et leurs unités : quantité de travail, 99 en « caisses à remplir » ; durée du travail, en « heures » : temps total (question), durées de Jean, Thérèse et Lucas et leur rapports 1, 1/2 et 1/4 ; vitesse de remplissage 8, 6 et 4 en « cagettes par heure ».
- Comprendre que la durée totale de la récolte correspond à la durée du travail de Jean (Jean a travaillé tout le temps) et que les durées de T et L se situent dans l’intervalle où Jean travaille.
- Pour se familiariser avec ces grandeurs et unités, on peut fixer une durée, et déterminer la quantité de caisses correspondante. Si, par exemple, Jean travaille 4 heures il remplit 32 caisses, durant ce temps Thérèse travaille 2 heures et remplit 12 caisses, Lucas travaille 1 heure et remplit 4 caisses, ensemble ils remplissent 48 caisses en 4 heures.
- Utiliser la proportionnalité entre des durées et le nombre de cagettes remplies, éventuellement construire un tableau pour aboutir à la solution : 8 heures un quart :
durée (en heures) : 4 8 2 1 1/2 1/4 ... 8 + 1/4 cagettes remplies : 48 96 24 12 6 3 ... 99
- Les correspondances ci-dessus utilisent « par approximations successives » les propriétés de la proportionnalité ; on pourrait passer plus rapidement à l’unité (1 ; 12) ou directement à (t ; 99) par la recherche de la « quatrième proportionnelle ».
Ou, déterminer la vitesse de travail des trois personnes ensemble 8 + 6 × 1/2 + 4 × 1/4 = 8 + 3 + 1 = 12 (cagettes par heure de travail commun), puis résoudre l’équation 99 = 12 × t, qui devient t = 99/12 = 33/4 = 8,25 ou 8 heures et 15 minutes.
voir Boîtes de stylos (30.II.16)
unité, durée, fractions, nombres rationnels, proportionnalité, rapport, dénominateur commun, addition, multiplication, division, cadence, équation, algèbre, vitesse
Points attribués, sur 291 copies de 10 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 74 (45%) | 23 (14%) | 22 (13%) | 25 (15%) | 20 (12%) | 164 | 1.35 |
| Cat 10 | 48 (38%) | 5 (4%) | 8 (6%) | 19 (15%) | 47 (37%) | 127 | 2.09 |
| Total | 122 (42%) | 28 (10%) | 30 (10%) | 44 (15%) | 67 (23%) | 291 | 1.68 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
L’analyse des copies a montré l’utilisation de diverses procédures:
P1 : procédures par essais plus ou moins organisés.
P2 : procédure arithmétique : identification dans un premier temps de 8 heures comme temps nécessaire pour remplir 96 cagettes ; la fraction du temps requis pour les 3 cagettes restantes est ensuite calculée. Ce qui donne deux cagettes pour G, 0,75 pour T et 0,25 pour L ; c’est dans ce cas, approximativement 2, 1, 0 on obtient alors la bonne solution.
P3 : procédure arithmétique avec l’utilisation implicite de l’inconnue, c’est l'identification d'une variable mais sans faire ensuite à la mise en équation et la solution est obtenue par essais.
P4: mise en équation et résolution de l'équation du premier degré. C’est la procédure plus experte qui conduit rapidement à la solution.
On rencontre dans les copies divers types d’erreurs.
R1: on a effectué l’opération 99:18, résultat 5,50. Cela vient de la non prise en compte des différents temps de travail .
R2: Le temps 5,50 (voir R1) est ensuite subdivisé en parties proportionnelles à 1, 2, 4 pour L, T, J.
R3: la réponse n’est que partiellement correcte, le temps de huit heures est correct, mais pas le nombre de minutes (réponses du type "8 et quelque chose", "8.20", "8.16"). Nous observons que le temps de 15 minutes n’est pas facilement divisible par 2 et 4.
R4: La réponse est correcte 8,25, mais on n’a pas effectué la conversion en heures et minutes : de 8,25 on doit passer à 8 h et 25 min.
On peut noter l'utilisation de différents registres de représentations
S1 : utilisation exclusive du langage verbal
S2 : utilisation simultanée du langage verbal et symbolique (opérations, équations,...). Utilisation intéressante des unités de mesure c/h et nh pour le nombre d'heures extrait.
S3: utilisation d’un langage uniquement symbolique (arithmétique ou algébrique).
S4: utilisation d’un tableau.
S5: autre représentation (segments); dans ce cas pas efficace pour résoudre ce problème.
La difficulté du problème est liée au nombre des grandeurs en jeu (nombre de cagettes, vitesse de remplissage, temps de travail de chacun pour J, T et L) et aux relations entre elles, qui doivent être présentes toutes en même temps.
Aucune aide ne semble venir de représentations sous forme de tableau ou d'une utilisation de l’outil fonction.
L’utilisation d’une équation simplifie fortement la procédure de résolution, presque en la banalisant, en évitant de devoir répartir les trois cagettes restantes entre J, T, L et en éliminant les problèmes liés aux unités de mesure. Le choix de l'inconnue est facilité par la question du problème (temps de travail de Jean) ; la difficulté peut résider dans une « mise en équation » correcte, en utilisant les données du problème 8, 6, 4, 1, ½, 1/4. Dans certaines copies on trouve l'écriture et la résolution correctes de l'équation mais il n'est pas certain que cela signifie la compréhension du calcul en cours ; cette conscience apparaît plus évidente avec des procédures arithmétiques, dans lesquelles les divers passages sont décrits et les unités de mesure explicitées, comme cela figure dans la copie SI10022.
À l'exception de la voie algébrique chaque autre procédure présente des difficultés pour donner un sens aux résultats obtenus (par exemple que représente : 12 = 8 + 3 + 1 ?). Le contexte n'est pas familier aux élèves et il ne facilite pas la résolution. L'erreur 99 : 18 peut provenir d'une expérience de personnes qui travaillent ensemble en même temps. L’organisation du travail des trois personnes reste ambiguë (commencent-elles ensemble ? finissent-elles ensemble ? travaillent-elles dans des temps successifs ?). Il peut être sous-entendu que le ¾ de cagettes remplies par T et le ¼ de L forment une unique cagette remplie complètement.
En classe ce problème peut être utilisé à l’issue d'une parcours qui commence avec la simple résolution d'équations et se poursuit avec l'application des équations pour la résolution de problèmes, de complexité croissante. Dans le domaine des problèmes sur les équations, ce problème demande en effet un certain temps d'élaboration adapté aux difficultés décrites.
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