Banque de problèmes du RMT
pr50-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTpr50-fr |
|
Déterminer la durée nécessaire pour remplir 224 boîtes (b) par trois personnes sachant qu’elles travaillent à des vitesses (22, 21, 18 b/h) et pendant des durées (1 ; 1/3, 1/6) différentes
Analyse de la tâche a priori
Appropriation
- Identifier les deux grandeurs proportionnelles en présence : le nombre de boîtes à remplir et la durée du travail ainsi que le rapport de proportionnalité : la « vitesse » à laquelle les boîtes ont été remplies et imaginer comment les trois personnes ont réparti leur temps de travail : simultanément ou indépendamment.
Résolution
- En cas de travail simultané, on peut imaginer que, pour chaque heure de la première personne les deux autres ont pris des « pauses » : la première personne remplit 22 cartons, la deuxième 7 (21 : 3) et la troisième 3 (18 : 6) ; au total 32 (22 + 7 + 3) en une heure pour les trois personnes, c’est-à-dire que le coefficient de proportionnalité, ou “vitesse de remplissage” entre la durée et le nombre de boîtes. Pour remplir les 224 boîtes il faudra donc 7 heures (224 : 32) à la première personne.
- En cas de travail indépendant, il faut exprimer les durées de remplissage des trois personnes par rapport à l’une d’entre elles, Par exemple si l’on choisit la durée de travail de la première personne (x) comme unité des trois durées ; le nombre de cartons rempli par chaque personne durant la durée du travail sera 22x ; 21/3x et 18/6x qui conduit à l’équation 22x + 7x + 3x = 224 et 32x = 224 dont la solution est 7 (heures de travail de la première personne).
voir La cueillette des pommes (22.I.19)
unité, durée, fractions, nombres rationnels, proportionnalité, rapport, dénominateur commun, addition, multiplication, division, cadence, équation, algèbre, vitesse
Points attribués, sur 989 copies de 15 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 347 (55%) | 63 (10%) | 53 (8%) | 65 (10%) | 100 (16%) | 628 | 1.22 |
| Cat 9 | 85 (49%) | 10 (6%) | 10 (6%) | 23 (13%) | 45 (26%) | 173 | 1.61 |
| Cat 10 | 59 (31%) | 10 (5%) | 20 (11%) | 9 (5%) | 90 (48%) | 188 | 2.32 |
| Total | 491 (50%) | 83 (8%) | 83 (8%) | 97 (10%) | 235 (24%) | 989 | 1.5 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Environ 240 copies ont été analysées, la plupart de la section de Sienne et quelques-unes de la section de Belgique, qui ont confirmé les résultats du tableau précédent de l’ensemble des sections, avec une « incompréhension du problème » pour la moitié d’entre elles.
Parmi les procédures qui ont conduit à la réponse attendue « 7 heures » on relève les trois procédures suivantes:
Par essais
Comme la question du problème demande combien de temps Licia a travaillé, de nombreuses copies organisent leurs essais selon la durée de travail de Licia et suivent pas à pas les données de l’énoncé. Par exemple 6 h pour L, 6 x 22 = 132 boîtes ; 2 h pour F et 2 x 21 = 42 boîtes ;1h pour G et 18 boîtes, suivi de la somme des trois nombres 132 + 42 + 18 = 192, la constatation que c’est insuffisant et qu’il faut partir d’un nombre supérieur à 6, etc..
Dans cette procédure il y a cependant un obstacle au moment où le nombre de départ n’est pas divisible par 3 et par 6 car de très nombreux groupes d’élèves ne savent pas exprimer le tiers de la durée de L en fractions et l’approchent par des nombres décimaux.
Exemple 1. (Cat 8)
Siamo andati a prove
22 x 8 = 176 ;
21 x 2,6 = 59,6
18 x 1,3 = 23,4
(Avec deux approximations de 8/3 par 2,6 et 8/6 par 1,3 qui ne tirent pas à conséquence puisque la somme est supérieure à 224)
22 x 7 = 156
21 x 2,3 = 48,3
18 x 1,15 = 20,7 Giusto
(Avec quatre erreurs ou approximations : 156 au lieu de 154 ; 48,3 au lieu de 21 x 7/3 = 49 ; 20,7 au lieu de 18 x 7/6 = 21 ; la somme 156 + 48,3 + 20,7 = 225 au lieu de 224 ! et un Giusto qui n’est pas « juste » pour quatre raisons !)
D’autres copies partent de G dont le travail en « heures de L » est le plus petit, pour éviter les divisions par 3 et par 2 et les remplacer par des multiplications.
Exemple 2 (cat 10)
Per risolvere il problema abbiamo fatto diversi tentativi. Abbiamo preso come punto di riferimento Geoffrey dato che cambiando le sue ore di lavoro cambiano di conseguenza anche le ore degli altri. Abbiamo iniziato assegnando a Geoffrey 1 ora di lavoro (riempiendo 18 scatole). Dato che Geoffrey lavora ½ delle ore di Florence, Florence a lavorato 2 ore (riempiendo 42 scatole).Le ore di Florence corrispondono a 1/3 di quelle di Licia. Licia ha lavorato 6 ore (riempiendo 132 scatole). Sommando i 3 valori non si raggiungeva le 224 scatole. Cosi abbiamo provato a aumentare le ore di Geoffrey a 1,15 ma la somma totale delle scatole era di 240. Cosi abbiamo assegnato a Geoffrey 1,10 di lavoro (riempiendo 21 scatole). Di conseguenza le ore di Florence sono 2,20 (riempiendo 49 scatole). Infine le ore di Licia sono 7 (riempiendo 154 scatole).
49 + 21 + 154 = 224.
Cosi siamo arrivati alla conclusione che Licia lavora 7 ore !!!
Trad. Pour résoudre le problème, nous avons fait plusieurs essais. Nous avons pris Geoffrey comme point de référence puisqu'en modifiant ses heures de travail, les heures des autres changent aussi en conséquence. Nous avons commencé par donner à Geoffrey 1 heure de travail (remplir 18 cartons). Puisque Geoffrey travaille ½ moins d'heures que Florence, Florence a travaillé 2 heures (en remplissant 42 cartons), tandis que les heures de Florence représentent 1/3 de celles de Licia. Licia a travaillé 6 heures (remplissant 132 cartons). L'addition des 3 valeurs n'a pas permis d'atteindre 224 cases. Nous avons donc essayé d'augmenter les heures de Geoffrey à 1,15 mais la somme totale des cases était de 240. Nous avons donc donné à Geoffrey 1,10 heures de travail (remplir 21 cartons). Par conséquent, les heures de Florence sont de 2h20 (remplissage de 49 cartons). Finalement les heures de Licia sont 7 (en remplissant 154 cartons).
49 + 21 + 154 = 224.
Nous sommes donc arrivés à la conclusion que Licia travaille 7 heures !!!
Par calcul de la production à l’heure pour chacun des trois personnages
Il s’agit de la deuxième procédure décrite dans la rubrique précédente « Tâche de résolution et savoirs mobilisés », observée chez la majorité des copies de catégorie 8 qui sont arrivées à la solution. Les trois nombre de cartons remplis en une heure par rapport à ceux de Lucia sont 32 (22 + 7 + 3). Certaines fois au lieu de faire directement la division de 224 par 32 pour trouver les 7 heures, le calcul est remplacé par une répétition des totaux pour 2 heures, pour 3 heures … jusqu’à 7 heures où la somme arrive à 224.
Équations et systèmes d’équations
Une majorité de copies de catégorie 10, de nombreuses de catégorie 9, et de rares copies de catégorie 8 témoignent d’une perception algébrique de la situation en exprimant toutes les quantités de cartons produits par chacun des trois personnages en référence à celui de Lucia.
Exemple 3 : (cat 10)
Inizialmente abbiamo posto come incognita il tempo impiegato da Licia par « l » quello di Florence con « l/3 » e quello di Geoffrey con « l/6 » . Dopodiché abbiamo moltiplicato il numero di scatole riempite in un ora per il loro tempo impostando la seguente equazione:
22l + 21l/3 + 18l /6 = 224
Svolgendo
32l = 224
l = 224/32 = 7
Quindi Licia ha lavorato 7 ore.
Trad.Nous avons choisi comme inconnue le temps pris par Licia, celui de Florence avec "l/3" et celui de Geoffrey avec "l/6". Ensuite, nous avons multiplié le nombre de cartons remplis en une heure par leur temps pour poser l'équation suivante:
22 l + 21 l/3 + 18 l/6 = 224
Développement
32 l = 224
l = 224/32 = 7
Licia a donc travaillé 7 heures.
Il faut relever ici la maîtrise du produit des fractions de durée du travail de L par la vitesse individuelle de remplissage qui, effectué dans la phase de résolution de l’équation « Développement » et qui aboutit à 22l + 7l + 3l = 32l.
Quelques rares copies n’ont pas pris en compte qu’un seul des deux facteurs :
Parfois c’est un système de trois équations qui est posé :
22x + 21y + 18 z = 224 y = x/3 z = y/2
Dans une des copies de catégorie 10, la résolution a été faite par la méthode de Cramer (avec déterminants)
Obstacles
Les procédures décrites ci-dessus sont minoritaires, il faut rappeler ici que plus de la moitié des copies examinées figurent sous les rubriques « 1 point : Début de recherche cohérente (par exemple, essais plus ou moins organisés) ou réponse erronée due à une erreur de calcul, sans explications et, surtout, 0 point : Incompréhension du problème selon les critères d’attribution des points attribués à un millier de copies de 15 sections.
Il y a donc des obstacles à la conduite d’un raisonnement cohérent :
- La prise en compte les vitesses de remplissage pour calculer le nombre de boîtes en fonction de la durée à partir des 22 boîtes de L
Exemple 4 (cat 8)
… L = 22 boîtes, F = 22/3 = 7,3 boîtes, G = 22/6 = 3,65, au total 32,95 et 224 : 32,95 = 6,8 heure.
- Répartition des 224 boîtes proportionnellement à la durée, puis calcul des durées en fonction de la vitesse
Exemple 5 (cat 8)
Après avoir exprimé les trois durées en durée unité u (de G) :
1 u + 2 u + 3 u = 9 u = 224 => 1 u = 224 : 9 = 24,8
L = 24,8 x 6 = 148 boîtes remplies
F = 24,8 x 2 = 49,6 b. r.
G = 24,8 x 1 = 24,8 b. r.
L = 148,8/22 = 6,7 heures
F = 49,6 /21 = 2,3 heures
G =24,8 /18 = 1,37 heures
- Calcul des durées de F et G à partir d’une durée hypothétique du travail de L ; détermination de leurs nombres de boîtes, et du nombre de boîtes restantes pour L, pour finir par le calcule de la durée de L.
Exemple 6 (Cat 8)
224 : 22 x 10 ––> ore che ha lavorato L se avesse fatto tutto lei
10 : 3 x 3 ––> ore che ha lavorato F
3,2 : 2 x 1,6 ––> ore che ha lavorato G
3 • 21 = 63 scatole … di F
1,6 • 18 x 29 scatole … di G
63 + 29 = 93 totale di scatole di F e G
224 – 92 = 132 scatole …di L
132 : 32 = 6 totale di ore che ha lavorato L.
- Certaines copies ne prennent en compte que les 3 vitesses 22, 21 et 18 dont la somme est 61 et divisent 224 par 61 pour trouver la surée du travail.
- Et d’autres semblent dire que les données sont incomplètes
Exemple 7 (Cat 10)
E impossibile perché manca il tempo complessivo dello svolgimento del lavoro
Trad. C'est impossible car il manque le temps total pour réaliser les travaux
- On trouve encore près de 10 % de feuilles blanche, d’erreurs fréquentes dans la transformation des fractions d’heures en nombres décimaux (du genre 1,2 heure = 1 h 20 minutes), de réponse incohérentes (du genre Licia a travaillé 70 heures), etc.
Il est difficile d’identifier les obstacles responsables de cette grande variété d’échecs ou de tentatives infructueuses.
On peut supposer cependant que la difficulté résulte de plusieurs facteurs :
- La perception des trois grandeurs en jeu : les nombre de boîtes à remplir, la « vitesse » du travail de remplissage (en « nombres de boîtes à l’heure » et la durée du travail (en fraction de la durée du travail de Licia). Cette situation recèle une nouveauté par rapport aux problèmes « classiques » de proportionnalité où deux grandeurs seulement sont à considérer.
- La notion de « vitesse » et de son unité complexe nb boîtes / heures
- Le conversion des « heures » en « heures de L »
- Le choix de l’opération à mettre en oeuvre pour déterminer les nombres de boîtes remplies par chaque personnage en une « heure de L » : une multiplication, de fractions ! Ce qui semble simple dans la description de la tâche (G, durant le 1/3 du temps de L remplit 22/3 boîtes à la vitesse légèrement inférieure de 21/22 c’est-à-dire 22/3 x 21/22 = 7).
- La maîtrise des opérations avec des fractions qui permet d’éviter le recours aux approximations décimales.
Le problème était inspiré de celui de La cueillette des pommes (22.I.19) par une modification de la variable « durée » afin d’aboutir à un nombre entier d’heures et de le rendre accessible en catégorie 8. Dans cette nouvelle version, il reste « difficile » pour une épreuve du RMT où une majorité d’élèves risquent de passer 50 minutes sans trouver la solution.
Le problème peut cependant être donné en travail par groupes autonomes au sein d’une classe en organisant éventuellement une courte mise en commun, au cas où certains groupes n’arrivent pas à s’approprier le problème après une dizaine de minutes de tentatives de résolution.
La discussion collective devrait permettre de voir apparaître les procédures par essais, puis la détermination de l’unité commune de « quantité de boîtes remplies » par chacun des personnages, par rapport à celles remplies par Licia ; c’est-à-dire la prise en compte simultanée des durées selon celle de Licia 1 ; 1/3 et 1/2 x 1/3 et des vitesses selon celle de Lucia : 1 ; 21/22 et 18/22.
La connaissance nécessaire pour déterminer cette quantité est essentielle : il s’agit de la multiplication de nombres rationnels, sans support géométrique, sans référence avec la répétition d’une addition, sans décomposition en division et multiplication par des nombres entiers. Pour sa maîtrise, il faut accéder à une représentation générique ou algébrique des quantités en jeu. (La traduction des données de l’énoncé en langage numérique devient : si Licia remplit L (22) boîtes en une heure, Florence remplira 21/22 x L boîtes en une heure, et 21/22 x 1/3 x L = 7 x L en un tiers du temps de Licia. Il s’agit du même genre de traduction que lorsqu’on demande de « calculer » les trois quarts « de » quelque chose, ou de « prendre » les 85 % « de », ou … Même le tiers « de » est une multiplication.
(c) ARMT, 2022-2024