Banque de problèmes du RMT
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Faire correspondre les termes de deux suites proportionnelles (dans le désordre) 24, 36, 40, 60, 100 et 27, 45, 75 et calculer les correspondants des 4e et 5e termes de la première, dans un contexte d'échanges.
- Comprendre que les « prix » des objets peuvent s’exprimer en coquillages et en oursins et qu’il s’agit de découvrir la règle d’échanges « coquillages – oursins » à partir des données.
- Ordonner les deux séries de prix 24 36 40 60 100 et 27 45 75 - et imaginer lesquels peuvent être en correspondance et où se situent les deux prix manquants « ? » :
24 36 40 60 100 ou 24 36 40 60 100 ou 24 36 40 60 100 etc. 27 ? 45 75 ? ou 27 45 ? 75 ? ou ? ? 27 45 75
- Déterminer quelle est la bonne association en cherchant une règle « plausible » : il faut éliminer les différences et penser aux propriétés de la proportionnalité intuitives ou explicites. Parmi celles-ci il y a la règle du « produit » (le passage au double ou au triple ... dans une des suites doit être reproduit dans l’autre), la règle de « la somme » (si un nombre d’une suite est la somme de deux autres, on doit avoir la même correspondance dans l’autre suite) ou la propriété du « rapport » de proportionnalité (qui doit être le même pour chaque couple de nombres correspondants).
(Avec ces données, la règle du « produit » n’est pas applicable, celle de la « somme » peut servir à la vérification. Le fait que les nombres de la première suite sont des multiples de 4 et ceux de la seconde des multiples de 3 peut aider à faire apparaître le rapport 3/4)
Ou essayer d’estimer puis calculer des rapports entre deux nombres supposés correspondants et de vérifier avec les autres. Par exemple le rapport 27/24 se retrouve en 45/40 mais ne convient pas pour 75/60 ni 75/100, ce qui peut conduire à la conclusion que les nombres de la deuxième suite sont plus petits que ceux de la première. Le rapport 75/100 est facilement repérable (3/4), se retrouve dans 45/60 et dans 27/36.
- Lorsque les correspondances sont déterminées :
24 36 40 60 100 ? 27 ? 45 75
les deux prix manquants, en « oursins » se calculent à l’aide du rapport 3/4 ou de la règle de la « somme » :
3/4 x 40 = 30, 3/4 x 24 = 18 ou 40 + 60 = 100 => ? + 45 = 75 , 24 + 36 = 60 => ? + 27 = 45
ce qui conduit aux 18 et 30 oursins pour les deux objets manquants, le jus de fruit et le sandwich.
suite proportionnelle
Occurence des points sur 12 sections en catégories 7 et 8
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 249 (65%) | 21 (5%) | 13 (3%) | 21 (5%) | 81 (21%) | 385 | 1.13 |
| Cat 8 | 127 (41%) | 28 (9%) | 8 (3%) | 25 (8%) | 120 (39%) | 308 | 1.94 |
| Total | 376 (54%) | 49 (7%) | 21 (3%) | 46 (7%) | 201 (29%) | 693 | 1.49 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les différentes procédures relevées sont révélatrices du niveau de conceptualisation dans la proportionnalité et des méthodes ce calcul des rapports.
* ou raisonnement correct explicite avec une erreur de calcul
- Ordonner les deux suites de nombres : en coquillages : 24, 36, 40, 60, 100 et en oursins : 27, 45, 75, puis procéder par essais. Par exemple associer 24 et 27, trouver qu’il y a 27/24 ou 9/8 ou 1,125 oursin par coquillage et vérifier que avec ce rapport, on trouverait 36 x 1,125 = 40,5, 40 x 1,125 = 45, etc et constater que les données ne coïncident pas.
- Procéder de manière non explicite et aléatoire, souvent à partir du rapport des plus grands nombres de chacune des suites.
- Conduire une recherche du rapport, complète et exhaustive des 15 quotients donnant le « taux d’échanges » (5 en « coquillages par 3 en « oursins »), vérifier si l’un de ces rapports se retrouve trois fois.
Dans les conditions de passation des épreuves du RMT le problème est « très difficile » en catégorie 7 avec près de 80% de réponses erronées, de non réponses ou d’incompréhensions du problème. En catégorie 8, la moitié des groupes trouvent la solution ou en sont proches.
On estime cependant que, avec une gestion différente de la résolution, avec mises en commun intermédiaires, dans une situation d’apprentissage conduite par le maître, le problème est parfaitement accessible.
On peut envisager une exploitation didactique du problème à de nombreux niveaux : la reconnaissance de grandeurs proportionnelle, la recherche du rapport et sa mobilisation pour déterminer les valeurs inconnues de certains couples, le concept de nombre rationnel, le concept de fonction, etc.
C’est l’enseignant qui doit choisir les modalités de ces exploitations didactiques, en fonction de ses élèves et de leur progression dans le programme de la classe.
Le problème donné dans les conditions de passation des épreuves du RMT (travail par groupes, sans intervention de l’enseignant) peut faire apparaître plusieurs procédures qui demandent une phase de validation avec le (ou les) groupe(s) qui ont résolu le problème, puis d’institutionnalisation comme, par exemple : la multiplicité des écritures d’un nombre rationnel, la nature du facteur de proportionnalité, la méthode de recherche exhaustive du facteur ...
Si le problème est soumis à la classe entière, par groupes, avec éventuellement une mise en commun intermédiaire pour lever quelques obstacles lors de l’appropriation, les exploitations possibles seraient du même genre que les précédentes, mais pour l’ensemble des élèves.
Des variantes du problème sont assez faciles à élaborer par un travail sur les variables didactiques : les données numériques du problème sont des nombres entiers et familiers, si on choisissait des nombres plus grands et un facteur moins évident que ¾, la tâche des élèves serait plus complexe et l’on pourrait alors juger de leur maîtrise des concepts mathématiques mis en oeuvre. Le groupe de travail « proportionnalité », en particulier élaboré le problème Des sucettes a gogo (Cat. 8, 9, 10) sur le même thème, qui fait apparaître aussi la nécessité de prendre conscience du facteur commun (le coefficient de proportionnalité) qui est à la clé de la recherche.
D’autres problèmes de la famille, peuvent aussi être proposés pour renforcer cette prise de conscience qu’on est dans une situation de proportionnalité : Décoration (Cat. 5, 6, 7) Truffes au chocolat (Cat. 6, 7, 8).
Parmi d’autres exploitations du problème, on peut imaginer son insertion dans un parcours didactique, parmi d’autres problèmes, avec des objectifs bien déterminés et des moyens d’évaluer la position des élèves dans leur progression vers le concept de proportionnalité.
Jaquet F. et all. (2008). Quelques aspects de la proportionnalité dans les problèmes du RMT, Groupe de travail n° 2, in L. Grugnetti, F. Jaquet, G. Bellò, R. Fassy, RMT fra pratica e ricerca in didattica della matematica/RMT, entre pratique et recherche en didactique des mathématiques, Vol. 7. Bard (Valle d’Aosta) 2007, Centro risorse della Didattica della Matematica, Sezione della Valle d’Aosta dell’ARMT, ARMT, 119-42.
Jaquet F. et all. (2009). La proportionnalité dans les problèmes du RMT, Groupe de travail n° 2, in L. Grugnetti, F. Jaquet, RMT et interculturalité/RMT e interculturalità, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin. Vol 8. Brigue 2008, ARMT, SCNAT, 73.97
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