Banque de problèmes du RMT
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Trouver, parmi des chameaux et des dromadaires, le nombre de chameaux connaissant le nombre de pattes, 52, et le nombre de bosses, 19.
- S'approprier la situation en comprenant que pour chaque chameau il faudra compter deux bosses et quatre pattes et pour chaque dromadaire 1 bosse et quatre pattes.
- Traduire les données en relations numériques entre les nombres de chameaux ( c ), de dromadaires ( d ) et d'animaux ( a ) : 4 x a = 52 (en tirer le nombre d'animaux, 13, puis c + d = 13 et 2 x c + d = 19.
Le "système d'équations se résout soit par essais progressifs, soit par hypothèses du genre: si tous les animaux sont des dromadaires, il y aurait 13 bosses et il en manquerait 6; par conséquent il faut remplacer 6 dromadaires par 6 chameaux.
- Sans passer par les relations arithmétiques, le problème se résout par dessins des pattes et des bosses: par exemple 13 groupes de quatre pattes, 13 bosses correspondantes et 6 bosses supplémentaires.
Les savoirs mobilisés sont la division par 4 ou 4 x ... = 52, l'addition et la multiplication ou l'organisation d'une représentation graphique.
addition, multiplication, algèbre, fausse position, essais, hypothèse,
Sur 86 classes de Suisse romande et Tessin, toutes catégories confondues (4 à 6):
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 9 (10%) | 21 (24%) | 2 (2%) | 17 (20%) | 37 (43%) | 86 | 2.6 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Ce problème a été repris lors du 24e RMT, 2016 et proposé à environ 2000 classes, dont les résultats confirment ceux-ci.
- Calcul des 13 animaux par la division 52 : 4 puis essais successifs
- Calcul des 13 animaux par la division 52 : 4 puis raisonnement par hypothèse et vérification déductive du genre: .. il y a 6 chameaux parce que si on remplace un chameau par deux dromadaires, parce que chacun a une bosse, il n'y aura plus 13 animaux mais 14, par conséquent les hommes sont 6, comme les chameaux
- Calcul des 13 animaux par la division 52 : 4. Pour les bosses la méthode consiste à diviser 19 bosses par 2 pour trouver un premier nombre hypothétique de chameaux, puis à le transformer pour que le nombre d'animaux corresponde à 13. On procède alors par substitution successives d'un chameau par deux dromadaires, afin de maintenir constant le nombre de bosses.
- Calcul des 13 animaux par la division 52 : 4 puis recherches exhaustives de tous les couples, (chameaux; dromadaires) dont la somme est 13 avec les écritures successives 13 = 1 + 12; 13 = 2 + 11; ....avec, pour chacun une vérification et élimination sauf pour 13 = 6 + 7, reconnu comme la solution.
- Calcul du nombre d'animaux par la multiplication 4 x 13 = 52 puis dessin d'une bosse par animal et ajout de 6 bosses supplémentaires.
- Dessin de tous les animaux avec deux bosses, dont les sept en trop sont biffées; parfois sans aucun calcul écrit, les 52 pattes étant obtenues par 13 groupes tous les couples.
La multiplicité des procédures relevées ci-dessus permet d'en voir l'intérêt pour un travail en classe suivi d'une confrontation des solutions et de la manière de les obtenir. Le passage des essais inorganisés aux essais systématiques est caractéristique d'un progression dans la maîtrise des relations en jeu; la résolution graphique, sans aucun calcul, est significative d'une démarche générique; les substitutions d'animaux avec les compensations correspondantes sur le nombre de bosses sont aussi des démarches déductives intéressantes.
Finalement, certaines procédures sont une introduction précieuse au concepts d'équation et de variable.
Voir article mentionné en bibliographie où les procédures sont détaillées; ainsi que l'analyse de la reprise du problème lors du 24e RMT Chameaux et dromadaires, 2016
Grugnetti. L., Jaquet. F. 1998. Chameaux et dromadaires. In Actes des journées d'études sur le RMT (Vol. 1, 1e et 2e rencontres). Quels apports pour la didactique des mathématiques. Brigue 1997-98, (1999). L. Grugnetti & F. Jaquet (Eds) Dipartimento di Matematica, Università di Parma & Institut de recherche et de documentation pédagogique, Neuchâtel.
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