Carrés avec ou sans trou

Identification

Rallye: 17.I.04 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire
• QUA - Travailler sur un quadrillage

Remarque et suggestion

Résumé

Former des carrés sur un quadrillage (sans trou ou avec un trou d'un carreau du quadrillage au centre) à l'aide de pièces qui on la forme d'un trapèze rectangle (constitué d'un carreau et d'un demi-carreau). 16 pièces au maximum peuvent être utilisées.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

Observer la figure de départ et s’approprier la forme des pavés : trapèzes qui recouvrent un carreau et demi du quadrillage (le demi-carreau le carré de Jojo ne peut pas être rempli car il manque un carreau du quadrillage (qui ne peut pas être recouvert exactement par un pavé d'un carreau et demi) et que le trou ne peut pas être juste au milieu dans un carré de 4 x 4. Il y a deux manières de rechercher les carrés à paver :

• par construction sur la grille ou sur une grille annexe en dessinant les pavés un à un, et en les effaçant lorsqu’ils dépassent ou lorsqu’ils laissent des vides qu’on ne peut combler,

• de manière beaucoup plus rapide et plus simple, par manipulation après avoir découpé les 16 pavés, puis par dessin des solutions trouvées.

Chercher à former un carré, sans trou ou avec un trou au centre, de dimensions différentes et constater que :

• pour 2 x 2, il manque deux triangles (demi-carrés) et il n’est pas possible d’avoir un trou carré au centre, ou, par un raisonnement numérique, constater qu’on ne peut pas paver une surface de 4 carreaux avec deux pièces qui, assemblées d’une certaine manière, forment un rectangle de 3 carreaux

• pour 3 x 3, il est facile de trouver une solution sans trou, par exemple par modules de trois rectangles de 3 x 1 (figure 1) ou d’un rectangle de 3 x 1 et d’un autre de 3 x 2 (figure 2) ; et par conséquent, il n’y aura pas de solution avec un trou au centre (car si on retire une pièce, il manquera plus d’un carreau)

• pour 4 x 4, il n’y a pas de solution, comme dit précédemment (il y en aurait une avec un trou centré, mais de 4 carreaux)

• pour 5 x 5, il y a de nombreuses solutions avec un trou au centre dont la recherche peut être facilitée par des assemblages de modules rectangulaires : par exemple quatre rectangles de 3 x 2 (figure 3), 8 rectangles de 3 x 1 (figure 4), assemblages mixtes (figure 5), « complément » du carré de 4 x 4 (figure 6), etc.

Ici aussi, la présence d’un trou de 1 carreau devrait faire renoncer les élèves à la recherche d’un carré sans trou de 5 x 5.

• pour 6 x 6, il serait possible de former un carré sans trou, mais le nombre de pièces, limité à 16, ne le permet pas ; et la contrainte des 16 pièces empêche aussi la formation des carrés suivants.

- Dessiner les solutions ou effectuer les collages

Notions mathématiques

pavage, trapèze rectangle, translation, rotation symétrie, aire, unité

Résultats

17.I.04

Points attribués sur 778 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Deux solution correctes (carré sans trou de 3 x 3 et carré avec trou au centre de 5 x 5) avec dessins clair et précis ou collage de pièces découpées
• 3 points: Deux solutions correctes, mais avec des dessins où l’on ne distingue pas toutes les pièces précisément
• 2 points: Une seule solution correcte et précise et l’autre erronée (le trou n’est pas au centre du carré de 5 x 5, ou la figure n’est pas carrée, le trou est plus grand qu’un carreau de quadrillage, pavés différents au sein du pavage, carrés utilisant plus de 16 pièces ...)
• 1 point: Construction d’assemblages qui ne respectent pas toutes les règles (figures non carrées, trous plus grands qu’un carreau de quadrillage, pavés différents au sein du pavage, carrés utilisant plus de 16 pièces ...)
• 0 point: Incompréhension du problème

(c) ARMT, 2009-2024