Banque de problèmes du RMT
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Recouvrir, lorsque c'est possible, un ensemble de figures par quatre triangles (rectangles) égaux donnés. Expliquer les cas impossibles.
- Se familiariser avec les propriétés du triangle utilisé : triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 2 (en côtés de carrés du quadrillage), dont l'hypoténuse est un peu plus grande que 2 (√5) et dont l'aire est égale à 1 (carré unité).
- Chercher à dessiner les côtés des quatre triangles directement sur les figures.
Ou : découper quatre triangles, les placer sur les figures, puis dessiner leur disposition après les avoir retirés. Ou : découper un grand nombre de triangles, les placer sur les figures et les y coller.
Selon la figure, le pavage est plus ou moins évident. On peut voir des rectangles formés de deux triangles, comme dans l’exemple du carré, on peut prolonger le quadrillage sur les figures, ...
Les figures c, d, f, h, i, j sont pavables avec les quatre triangles proposés.
Pour la figure a, les angles ne permettent pas le pavage. On peut par exemple placer deux triangles, comme sur le dessin ci-dessous, mais les deux triangles qui restent ne sont plus rectangles ou « n’ont plus la même forme ».
Le pavage est aussi impossible pour la figure g, pour des raisons d’angles (les triangles sont isocèles, mais plus rectangles)
Pour la figure k, ce sont les dimensions qui empêchent le pavage. Son aire est 5 (en carrés du quadrillage) et les quatre triangles placés (voir figure k ci-dessous), laissent un carré central vide. Si l’on découpe la figure en 4 triangles rectangles égaux ( comme dans la figure k’), il faut observer que ces triangles sont plus grands que les originaux (le côté le plus long ne correspond pas à deux segments unités, mais à la diagonale d’un rectangle 1 x 2 qui mesure 2,2 environ (√5); cette observation est assez évidente si on mesure avec une règle.)
- Justifier les trois cas où le pavage est impossible, en disant par exemple que les triangles n’auraient pas la même forme (cas a et g) ou que la figure est plus grande que les autres (cas k).
triangle, comparaison de longueurs, comparaison d'angles, pavage
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