Cercles et nombres

Identification

Rallye: 15.II.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: LR, GP
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• TOP - Gérer une situation topologique

Remarque et suggestion

Résumé

Dessiner trois cercles en déterminant 6 régions fermées et placer placer dans chacune un des nombres de 1 à 6 de manière à ce que la somme des nombres dans chacun des trois cercles soit la même et la plus grande possible.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Chercher les différentes dispositions de trois cercles en fonction des régions fermées déterminées. Ce nombre de régions peut varier de 3 (cercles sans intersections) à 7 (disposition de l’énoncé). Se rendre compte que 6 régions peuvent être obtenues par une des quatre dispositions suivantes « topologiquement » différentes :

• a) 1 région commune aux trois cercles, 3 régions communes à deux cercles et 2 régions n’appartenant qu’à un cercle
• b) 1 région commune aux trois cercles, 2 régions communes à deux cercles et 3 régions n’appartenant qu’à un cercle
• c) 0 région commune aux trois cercles, 3 régions communes à deux cercles et 3 régions n’appartenant qu’à un cercle
• d) 0 région commune aux trois cercles, 2 régions communes à deux cercles et 4 régions n’appartenant qu’à un cercle

- Se rendre compte que la disposition d) ne permet pas d’obtenir la même somme dans chaque cercle.

- Observer qu’il y a dans chaque autre disposition un, deux ou trois cercles qui contiennent trois régions et que, par conséquent, la somme des nombres pour ces cercles ne peut être supérieure à 15 (6 + 5 + 4)

- Comprendre que pour obtenir une somme maximale, il faut tenter de placer le 6 dans la région commune aux trois cercles, en a) et b) pour qu’il apparaisse dans trois sommes, et dans une des régions communes à deux cercles dans c) pour qu’il apparaisse dans deux sommes.

Pour les autres nombres, il faudrait aussi s’inspirer de ce même principe selon lequel, pour obtenir les plus grandes sommes, il faut utiliser le plus souvent possible les nombres 4, 5 et 6

- Dans la disposition a), tenter de placer 6 dans la région commune aux trois cercles, puis 4 et 5 dans les deux régions communes à deux cercles, du cercle « central ». La somme de 15 s’obtient facilement dans les deux autres cercles en y plaçant les nombres 3 dans leur région commune, puis 2 et 1 dans les régions « extérieures ». (On peut obtenir une solution « symétrique par permutation de 4 et 5, respectivement de 1 et 2).

- Dans la disposition b), après avoir placé 6 dans la région commune aux trois cercles, on se rend compte rapidement que la somme de 15 pour les trois cercles ne pourra pas être obtenu et que le maximum est 13.

- Dans la disposition c) le maximum s’obtient en plaçant 6, 5 et 4 dans les trois régions communes à ceux cercles, mais la somme maximale n’est que 12.

Notions mathématiques

addition, intersection, cercle, région fermée

Résultats

15.II.17

Points attribués sur 38 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Solution maximale (15) avec justification sur les différentes dispositions des cercles et sur la manière d’y placer les nombres (le 6 dans les zones communes ou les différentes sommes possibles, ...)
• 3 points: Solution maximale (15) avec justification incomplète ou par essais successifs
  ou solution non maximale (13) selon la disposition b) ou (12) selon c) avec justification complète
• 2 points: Solution maximale (15) sans justification
  ou solution non maximales (13) ou (12) selon la disposition b) ou c) avec justification incomplète
• 1 point: Solution ne respectant pas l’égalité des sommes
• 0 point: Incompréhension du problème

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