Navi - bel affichage d'une fiche

Puzzle (I)

Identification

Rallye: 14.II.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: GP
Familles:

Résumé

Un carré de 16 cm de côté est décomposé en trois pièces : deux triangles rectangle (16 ; 12 ; 20) et (12,8 ; 9,6 ; 16) et un quadrilatère dont deux côtés sont connus (16 ; 4). Dessiner tous les polygones convexes qu’on peut former avec ces trois pièces et calculer leur périmètre.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

Former des figures avec les trois pièces, par découpage ou par dessin et s’approprier les conditions « polygone convexe » : pas d’angles rentrants, figures différentes et coïncidences des côtés communs.

Se rendre compte que les côtés pouvant être communs sont en nombre limité, de longueurs 16 ou 12,8. Notamment, l’ajustement d’un côté de 12 cm avec un côté de 12,8 cm ne convient pas.

Dresser un inventaire complet des polygones possibles, en combinant par exemple une ‘ figure de base » constituée du quadrilatère Q et d’un triangle avec les différentes façons de placer l’autre triangle.

Calculer les périmètres des figures.

Notions mathématiques

carré, triangle, triangle rectangle, similitude, Pythagore, périmètre, aire,

Résultats

14.II.11

sur 576 classes de 6 sections

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	198 (81%)	41 (17%)	5 (2%)	0 (0%)	0 (0%)	244	0.21
Cat 7	107 (57%)	66 (35%)	9 (5%)	7 (4%)	0 (0%)	189	0.56
Cat 8	72 (47%)	51 (33%)	21 (14%)	9 (6%)	1 (1%)	154	0.81
Total	377 (64%)	158 (27%)	35 (6%)	16 (3%)	1 (0%)	587	0.48
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Les 10 figures trouvées avec l’indication de leurs périmètres.
3 points: Les 10 figures trouvées, sans indication de périmètres, ou avec une erreur (double ou figure non convexe)
ou 7 à 9 figures avec périmètres
2 points: 7 à 9 figures trouvées, sans indication de périmètres, ou avec une erreur (double ou figure non convexe)
ou 4 à 6 figures avec périmètres
1 point: 4 à 6 figures trouvées, sans indication de périmètres, ou avec une erreur (double ou figure non convexe)
ou 1 à 3 figures avec périmètres
0 point: Autres réponses, non-réponses, incompréhension

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Au vu des résultats ci-dessus, il est évident que la découverte des 10 figures est très difficile. L'analyse des copies pourra déterminer si une partie de la difficulté vient de l'énoncé, qui contient beaucoup d'implicites.

Exploitations didactiques

Le problème peut être exploité en classe, éventuellement en modifiant les dimensions du puzzle et de ses pièces de manière à travailler avec des nombres naturels. (Par exemple, le carré de côté 20 et les côtés de l'angle droit du triangle R de 20 et 15. On peut ensuite soit donner quelques autres côtés, soit dire que le triangle S est rectangle).

C'est une bonne occasion de revoir le théorème de Pythagore ou les similitudes et de prendre conscience que tous les polygones découverts ayant la même aire, ils peuvent avoir des périmètres différents.

Banque de problèmes du RMT