Banque de problèmes du RMT
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Un carré de 10 cm de côté est composé de trois pièces : deux triangles rectangle (côtés de l'angle droit de longueurs 10 et 5 pour l'un et hypoténuse de 10 cm pour l'autre) et et un quadrilatère dont un côté est connu (59). Dessiner tous les polygones convexes qu’on peut former avec ces trois pièces et calculer leur périmètre.
Analyse a priori de la tâche:
- Former des figures avec les trois pièces, par découpage ou par dessin (sur papier quadrillé par exemple) et s’approprier la condition « polygone convexe » : pas d’angles rentrants.
- Calculer les mesures des côtés du grand triangle (par Pythagore) : 10 ; 5 et √125, du petit triangle qui est semblable au grand (Pythagore, similitude et équation x2 + (2x)2 = 100) : 10, √20 et √80 ; se rendre compte que les mesures des côtés pouvant être communs sont en nombre limité : 5, 10 et √125 (≈ 11) pour le grand triangle, et √80 (≈ 9) et 10 pour le petit, 5, 10 et √80 pour le quadrilatère.
- Dresser un inventaire exhaustif des cas possibles, en combinant par exemple une « figure de base » de deux pièces avec les différentes façons de placer la troisième sur ses côtés.
- Calculer ou mesurer les périmètres et constater qu’il n’y a que quatre valeurs possibles : 40, 2(√125 + √80) ≅ 40,2, 2(10 + √125) ≅ 42 et 30 + 2√125 ≅ 52, dont les deux premières seulement nécessitent un calcul exact pour être comparées, alors que des mesurages sur les figures suffisent dans les autres cas.
- Regrouper les figures selon leur périmètre (par mesure directe ou par calcul) se rendre compte que lorsqu’on déplace une pièce en laissant un côté commun inchangé, le périmètre ne varie pas.
isométrie, polygones, angle, périmètre, Pythagore, triangle semblable
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