Banque de problèmes du RMT
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Recouvrir un rectangle dont un côté mesure 12 cm par 24 trapèzes rectangles identiques de périmètre 16 cm et dont tous les côtés mesurent des nombres entiers de cm tous différents.
Analyse a priori:
- Comprendre qu’il s’agit d’établir comment on peut remonter d’un trapèze rectangle au rectangle.
- Observer qu’un trapèze rectangle est toujours décomposable en un rectangle et un triangle rectangle. Comme les côtés du trapèze sont des nombres naturels et que son périmètre est 16, on en déduit que les mesures des côtés du triangle rectangle doivent nécessairement être les termes du « plus petit » triplet pythagoricien : 3, 4, 5. (les suivants : 6, 8, 10 ; 9, 12, 15 ou 5, 12, 13 donnant une somme supérieure à 16).
- Déterminer la petite base du trapèze : à partir du périmètre du triangle, 3 + 4 + 5 = 12, constater qu’il faut compléter la figure par un rectangle de 2 cm de largeur pour obtenir un trapèze de 16 cm de périmètre. En conclure qu’il y a deux trapèzes possibles et (mesures : 2 ; 3 ; 6 ; 5 et 2 ; 4 ; 5 ; 5) et qu’il faut éliminer le second puisque les mesures des côtés du trapèze doivent être différentes :
- Observer que, en réunissant deux trapèzes par leur côté oblique, on obtient un rectangle de 3 x 8.
- À partir d’un segment de 12 cm, commencer à disposer les trapèzes rectangles identiques (on peut aussi travailler avec les rectangles, réunions de deux trapèzes) et vérifier qu’il n’y a qu’une seule disposition, dans laquelle les bases sont perpendiculaires au segment de 12 cm. En déduire que le rectangle contenant les 24 trapèzes a une longueur de 24 cm.
rectangle, trapèze rectangle, pavage, aire, périmètre, théorème de Pythagore, décomposition d’un nombre, triplet pythagoricien
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