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Banque de problèmes du RMT

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centre

Un triangle qui grandit

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Rallye: 13.II.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: FN, GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

La suite des triangles donnant les nombres triangulaires est amorcées. Chaque figure est décomposée en triangles blancs et noirs. Déterminer les caractéristiques de la figues correspondant au nombre triangulaire 55.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que chaque figure a un niveau de plus que la précédente et essayer de dessiner les figures suivantes. Comme les triangles sont en fait des demi-carrés, le dessin en est facilité sur du papier quadrillé.

- Comprendre la construction géométrique des étages successifs supplémentaires.

- Compter les triangles noirs jusqu’à arriver à 55. On en déduit le nombre d’étages et l’on peut compter les triangles blancs que Roland a utilisés.

Ou, pour éviter les dessins, travailler dans le domaine numérique et tenir une liste précise du comptage des triangles noirs pour trouver le nombre d’étages ; par exemple:

  nombre de triangles noirs : 3  6 10 15 21 28 36 45 55
  nombre d’étages:            2  3  4  5  6  7  8  9 10

Pour établir cette liste, comprendre la régularité de sa construction ;

- Se rendre compte que l’on peut ajouter à cette liste de comptage des triangles noirs une liste soigneusement coordonnée du comptage des triangles blancs, par exemple:

  nombre de triangles noirs :  3   6  10   15   21   ...   55
  nombre d’étages :            2   3   4    5    6   ...   10
  nombre de triangles blancs : 1   3   6   10   15   ...   45

Pour établir cette liste de comptage des triangles blancs, comprendre:

Ou : constater que le nombre de triangles noirs correspond à la somme des nombres naturels jusqu’à n (n = nombre d’étages) et que le nombre de triangles blancs correspond à la somme des nombres naturels jusqu’à n-1 (n = nombre d’étages) ou que ce nombre de triangles blancs est égal au nombre de triangles noirs moins n.

Ou : constater que le nombre total des triangles est 1, 4, 9, 16, ... (suite des carrés) et calculer le nombre de triangles blancs par différence.

Notions mathématiques

addition, multiplication, soustraction, suite

Résultats

13.II.07

Points attribués sur 163 classes de Suisse romande:

Catégorie01234Nb. de classesMoyenne
Cat 417 (40%)2 (5%)2 (5%)2 (5%)20 (47%)432.14
Cat 510 (20%)3 (6%)2 (4%)13 (27%)21 (43%)492.65
Cat 616 (23%)2 (3%)2 (3%)16 (23%)35 (49%)712.73
Total43 (26%)7 (4%)6 (4%)31 (19%)76 (47%)1632.55
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

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