Banque de problèmes du RMT
td128-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTtd128-fr |
|
Deux rectangles homothétiques étant donnés, placer l'image d'un point du premier dans le deuxième.
Observer les deux figures et se rendre compte que la transformation qui fait passer de l'une à l'autre est une homothétie (ou réduction). Mettre en oeuvre les connaissances sur ces transformations comme:
- déterminer le facteur de réduction de la photographie à partir des deux rectangles et vérifier qu'il est le même pour les deux dimensions : 2,5/6 = 3,5/8,4 = 5/12; puis déterminer les coordonnées de la mouche sur la feuille et calculer les coordonnées correspondantes sur la photo;
- ou chercher à quadriller les deux rectangles;
- ou utiliser une procédure géométrique en traçant deux droites passant par la mouche et deux sommets d'angles de la feuille, puis en construisant des parallèles correspondantes sur la photo,;
- ou rechercher le centre d'homothétie.
homothétie, agrandissement, réduction, proportionnalité, parallélisme
Les points n'ont pas été conservés mais une analyse a posteriori sur 254 classes des différentes régions de Suisse et d’Italie a permis d'établir les rubriques suivantes.
Sur les 254 examinées on ne trouve que 7,7% de non réponses, ce qui signifie que les élèves ont pu s'approprier le problème et s'engager dans la recherche del position de la mouche sur la photo. Les stratégies de résolution peuvent se classer en deux grandes catégories : numériques ou géométriques.
1. Les procédures numériques se répartissent à leur tour en deux classes distinctes : celles qui font appel au coefficient de proportionnalité et celles qui mettent en jeu la propriété multiplicative de linéarité f(kx) = kf(x).
1.1 Utilisation du coefficient de proportionnalité
L’énoncé du problème incite à passer d’un objet à sa «photographie» selon l’exemple classique d’introduction aux figures semblables. Le coefficient de proportionnalité ou facteur de similitude est déterminé de plusieurs manières par les élèves.
- Certains le calculent, surtout en catégories 7 et 8, à partir d’une seule dimension en ne considérant qu’un seul couple de côtés correspondants : Nous avons mesuré les largeurs et calculé leur rapport, qui est 2,4. Nous avons mesuré les distances de la mouche aux côtés du rectangle, les avons divisées par ce rapport et avons pu ainsi placer la mouche dans le petit rectangle.» La mouche peut aussi être située au sommet d’un triangle
- Le rapport est déterminé deux fois, à partir de la longueur et de la largeur. Il est difficile alors de savoir s’il s’agit, pour les élèves d’une nécessité ou d’une vérification.
- La rapport est calculé d’après les aires et est appliqué aux longueurs comme en témoigne cette explication (cat. 7) : On a divisé l’aire du grand par celle du petit rectangle; résultat x. Puis on a mesuré à combien de cm se trouvait la mouche du bord a et du bord b ... première longueur y, seconde longueur z. Ensuite on a divisé y et z par x, qui nous donne deux nouvelles longueurs. Pour finir, on a utilisé ces nouvelles longueurs sur le petit rectangle pour placer la mouche qui se trouve à l’intersection des deux longueurs.
- Le coefficient est déterminé approximativement et est appliqué aux longueurs, principalement dans les classes de catégorie 6. Dans une trentaine de cas, ce coefficient a été estimé à 2 ou 1/2, quelquefois à 3 ou 1/3.
- Quelques classes italiennes de degré 8 ont utilisé des proportions.
1.2 Utilisation d'un rapport de linéarité
Dans les copies de cette catégorie de procédures, c’est le rapport entre chacune des coordonnées de la mouche et une des dimensions du grand rectangle qui est utilisé pour déterminer la position de la mouche sur la photo (Fig, 2), comme l’explique cette classe de catégorie 7 : Pour pouvoir placer la mouche sur la photo, il suffit de mesurer la longueur du grand rectangle et de voir où se trouve la mouche par rapport à la longueur. Puis il faut reporter le point à l’échelle du petit rectangle. Et il faut recommencer avec la largeur du grand rectangle.
On peut classer les procédures de cette catégorie en deux groupes :
- (1.2.1) celles qui sont correctes, par voie arithmétique mais surtout géométrique, comme le montrent les exemples des figures 3, 4a et 4b;
- (1.2.2) celles qui sont incomplètes (où l’une seule des coordonnées est déterminée correctement) ou erronées (où par exemple, les rapports sont calculés correctement mais sont confondus ensuite avec les mesures à reporter).
2. Les procédures géométriques sont moins nombreuses (55 sur 254) et se répartissent en quatre catégories.
2.1 Conservation des angles
Seules des classes suisses ont utilisé ce type de procédure :
- report des angles ou conservation du parallélisme des côtés, illustrés par les figures 5a, 5b et 6;
- idée intuitive de conservation des angles par la conservation d’une «inclinaison» de la droite joignant la mouche au point d’intersection des diagonales du rectangle.
2.2 Usage de l’homothétie et du théorème de Thalès
Deux classes, de catégorie 7, ont utilisé ces outils. (Fig 7, Fig 8) avec succès. Une classe de catégorie 8 semble s’y référer, mais de façon vague, avec le commentaire : ... Nous avons remarqué que, peu importe de combien on réduit, elle reste au même endroit. Nous avons ainsi dessiné la mouche sous la mouche réelle. Fig. 9). Cette dernière construction est probablement en lien avec le cours d’«éducation technique».
2.3 Méthode par approximations successives
Ces procédures sont proposées par 22 classes italiennes (aucune suisse) et consistent à s’approcher progressivement de la position de la mouche par des subdivisions opportunes du grand rectangle :
- (2.3.1) par triangulation (Fig. 10), où les explications fournies sont très synthétiques et laissent à penser qu’une partie de la détermination se fait par estimation visuelle;
-`(2.3.2) par quadrillages, avec des carrés égaux, comme dans la figure 11a (avec une relation du type «un carré du petit correspond à n carrés du grand»), avec des carrés à l’échelle des rectangles, comme dans la figure 11b, ou en référence à un système de repérage cartésien (Fig 12);
- par des divisions de plus en plus fines (Fig. 13a, b, c).
2.4 Par reproduction partielle
L’idée de similitude est absente de ces procédures, où le petit rectangle est considéré comme une partie du grand :
- (2.4.1) procédure par superposition utilisée par de nombreuses classes mais qui aboutit à une anomalie visuelle et, parfois à des tentatives de correction comme l’illustre la figure 14 ou comme l’expliquent des élèves qui n’avaient pas considéré que les deux rectangles étaient orientés de la même manière : Comme le négatif est dans une position contraire par rapport à l’image de la photo, la mouche se trouvera dans la partie opposée, par rapport au rectangle principal.
- (2.4.2) procédure par recouvrement où le pavage du grand rectangle est étendu à celui du petit (Fig. 15), ce qui entraîne parfois des corrections par une rotation du petit rectangle (Fig. 16).
Une trentaine de copies, avant tout de catégorie 6, voire 7, ne donnent pas d’indication sur la manière dont la mouche a été placée ou ne fournissent que quelques bribes d’explications.
Finalement quelques rares copies font état d’une incompréhension du problème (Fig. 17a, b).
(c) ARMT, 1999-2024