Les fontaines

Identification

Rallye: 24.F.25 ; catégorie: 5 ; domaine: GP
Familles:

• CH - Déterminer des chemins et des parcours
• TOP - Gérer une situation topologique

Remarque et suggestion

Résumé

Dessiner les carrés et les rectangles dont les sommets sont situés sur chacun des quatre côtés d’une grille quadrillée 5 × 5.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Petite curiosité topologique du genre des « Ponts de Königsberg ».

- Il faut essayer quelques parcours pour se rendre compte qu’on peut se retrouver à un point sans avoir parcouru tout l’itinéraire et ne plus pouvoir continuer parce que tous les chemins qui aboutissent à ce point ont déjà été suivis. Par exemple, en suivant le parcours extérieur à partir de B dans le sens des aiguilles de la montre B, C, D, E, H, M, G, K, L, I, B puis en continant par D, F, E, on aboutit à E, une impasse, sans avoir suivi BG et BI.

- Pour organiser la recherche on peut par exemple se rendre compte que certains points ne son atteints que par deux chemins (par exemple C, F, …). Si le départ est l’un de ces points, il faudra y revenir pour suivre tous les traits et ce sera donc aussi l’arrivée. Il faut encore se rendre compte qu’il faudra passer plusieurs fois par les points où aboutissent trois ou quatre chemins.

- Finalement c’est le nombre de chemins issus d’un point permet de choisir de choisir le départ et l’arrivée : I et E sont les seuls points reliés par trois chemins ; lorsqu’on passe par une de ces points, on emprunte deux de ses chemins, le troisième sera soit celui de départ, soit celui d’arrivée.

- Selon l’observation précédente, les extrémités des itinéraires qui conviennent sont I et E. Il suffit d’en désigner un. Par exemple :

  I – B – C – D – E – F – D – B – G – I – L – K – G – M – H – E.  

(les 11 points y figurent, I et E au début et à la fin et une seconde fois ; B, D et G y figurent aussi deux fois ; la séquence est de 16 lettres)

Autres séquences à partir de I :

  I – B – D – E – F – D – C – B – G – I – L – K – G – M – H – E
  I – L – K – G – I – B – D –  E – F – D – C – B – G – M – H – E

(Dès qu’on a déterminé I et E, on peut partir dans n’importe quelle direction, on retombe toujours sur se pieds !!)

Notions mathématiques

chemin, noeud, arc, ordre, voisinage, exhaustivité

Résultats

24.F.25

Points attribués, sur 12 copies de la 2e finale internationale du RMT (15.10.2016. Le locle)

Selon les critères suivants:

• 4 points: Réponse correcte : un itinéraire codé commençant ou se terminant par I et E ; les 16 lettres correspondantes dans un ordre correct
• 3 points: Réponse donnant un itinéraire codé commençant ou se terminant par I et E, avec une seule erreur dans le code (oubli d’une lettre ou une lettre de trop)
• 2 points: Réponse avec un départ ni en I ni en E avec l’erreur qui en découle : un ou plusieurs chemins sont suivis deux fois
• ou un ou plusieurs itinéraires corects et d’autres incorrects
• 1 point: Réponse avec un départ ni en I ni en E avec plusieurs erreurs : ne passe pas par tous les points, chemins suivis deux fois, …
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Six classes sur 12 ont trouvé un itinéraire correct, une autre a trouvé un itinéraire dont il manque l’arrivée.

Une classe a trouvé deux itinéraires corrects mais d’autres incorrects où il manque plusieurs chemins.

Les quatre autres n’ont pas compris les exigences ou n’ont pas trouvé le point de départ correct, avec des itinéraires toujours incomplets.

Exploitations didactiques

On peut éventuellement, lors d’une discussion collective, faire apparaître la spécificité des deux points I et E situés à l’intersection de trois chemins.

On peut aussi faire un inventaire partiel des chemins possibles, par exemle ceux qui commencent par I - A - B - C.

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