Banque de problèmes du RMT
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Reconstituer un alignement de cinq objets selon des informations de voisinage et de positions relatives.
- Comprendre que les cinq figures données doivent être disposées dans les cinq cadres en respectant une liste de contraintes.
- Lire les contraintes et se rendre compte qu’aucune d’entre elles, seule, ne permet de trouver la position d’une figure et qu’il sera nécessaire de tenir compte de plusieurs d’entre elles simultanément.
- Organiser la recherche, par essais et vérifications ou par une hypothèse et éliminations successives
Par exemple, à partir de la deuxième consigne, il y a quatre configurations possibles du soleil et de l’étoile:
soleil, ... , ... , étoile, ... - étoile, ... , ... soleil, ... - ..., soleil, ..., ... étoile - ..., étoile, ... , ..., soleil. La troisième consigne
selon laquelle le nuage est à droite de l’étoile réduit les configurations possibles à trois :
soleil, ... , ... étoile, nuage - étoile, nuage , ... , soleil, ... , - ..., étoile, nuage , ..., soleil.
La première consigne sur la position de la lune exclut une autre configuration, il n’en reste que deux :
soleil, ... , ... , étoile, nuage - étoile, nuage , ... soleil, ...
La quatrième consigne sur l’éclair et la lune conduit à l’unique possibilité :
soleil, lune, éclair, étoile, nuage.
logique, voisinage, gauche, droite, position, positions relatives, déduction, hypothèse
Points attribués, sur 1647 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 109 (23%) | 28 (6%) | 84 (18%) | 145 (31%) | 106 (22%) | 472 | 2.24 |
| Cat 4 | 71 (12%) | 18 (3%) | 121 (20%) | 206 (34%) | 185 (31%) | 601 | 2.69 |
| Cat 5 | 37 (6%) | 4 (1%) | 121 (21%) | 234 (41%) | 178 (31%) | 574 | 2.89 |
| Total | 217 (13%) | 50 (3%) | 326 (20%) | 585 (36%) | 469 (28%) | 1647 | 2.63 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Le problème est “bien réussi” par près des deux tiers des groupes.
Dans cette variante d’un ancien problème A la ménagerie, la consigne, le nuage est à côté de l’étoile, à droite, a sensiblement facilité la tâche de résolution. La consigne d’origine correspondrait à le nuage est à droite de l’étoile, ils sont l’un à côté de l’autre.
En interprétant la nouvelle consigne comme le nuage est à droite, la solution est immédiate. le nuage à droite, puis l’étoile, deux cadres et le soleil à gauche, etc.
On peut reprendre le problème A la ménagerie.
Ce problème est aussi proposé dans la brochure Ateliers de mathématiques (voir Bibliographie) avec un dessin de cinq cages juxtaposées et cinq images d’animaux, matériel qui favorise les procédures de recherche par essais successifs.
Au-delà de la lecture et de la connaissance de la droite et de la gauche, ce sont les opérations logiques qui sont mises en œuvre dans la résolution de ce problème.
L’adoption d’une méthode systématique est le premier enjeu. On peut choisir un motif et envisager tous les cadres où il pourrait se trouver, puis vérifier si cette position est compatible avec chaque consigne. Cette méthode est celle d’un « inventaire exhaustif », qui ne se conclut pas lors de la découverte d’une première solution mais qui doit se poursuivre jusqu’à l’épuisement des possibilités.
Un autre enjeu est le procédé par « éliminations successives ». On choisit une des contraintes du problème (consigne) et l’on dresse l’inventaire des dispositions qui la satisfont. On prend ensuite une deuxième contrainte et, pour chaque disposition retenue précédemment, on procède au rejet de celles qui ne la satisfont pas. Ainsi de suite, chaque contrainte conduit à l’élimination ou à la conservation des dispositions précédentes.
Les inventaires et éliminations s’entremêlent et les décisions sont prises en termes de « oui ou non » selon les principes logiques de la négation ou du « tiers exclu » (ou l’un, ou l’autre, mais pas les deux).
« La seule réponse correcte, c’est-à-dire la position des animaux dans leur cage ou un dessin ou une liste ordonnée, ne permet évidemment pas de savoir comment l’élève a procédé, ni s’il a trouvé la solution au hasard. Il est donc nécessaire d’aller plus loin et de demander une explication.
Pour de jeunes élèves, il est très difficile d’expliquer par écrit ce qu’ils ont fait pour trouver. Ils se contentent en général de recopier les consignes, ce qui leur fournit une vérification. C’est lors d’un débat que peuvent apparaître les différentes phases des raisonnements suivis. Et le débat doit être la plupart du temps stimulé par des questions de l’enseignant, du genre : « quel est l’animal que vous avez pu placer en premier ? » pourquoi celui-ci ne pourrait-il pas être là ?», « êtes-vous certains qu’il n’y a qu’une seule solution ? ...
Comme développements, il existe de nombreux problèmes analogues, de disposition, de sériations dans l’espace et dans le temps qui permettent aux élèves de se familiariser avec les inventaires exhaustifs et les éliminations successives.
Ces problèmes ne sont toutefois pas toujours faciles à créer et nécessitent un patient travail d’analyse préalable pour le choix des contraintes, afin qu’elles autorisent au moins une solution et qu’elles ne soient pas redondantes (qu’elles soient toutes nécessaires).
Il y a aussi des difficultés, dans les problèmes où la gauche et la droite interviennent, liées aux positions relatives de l’enfant qui résout le problème et des objets ou êtres vivants à disposer. Dans l’exemple de « A la ménagerie » la phrase « vous êtes devant cinq cages, alignées les unes à côté des autres » est essentielle pour définir la droite et la gauche, du point de vue de l’observateur et non de celui des animaux qui le regardent. »
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