Banque de problèmes du RMT
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Placer cinq éléments dans l'ordre connaissant des positions relatives deux à deux.
Représenter un alignement de cinq emplacements, situés côte à côte, dont les positions sont données par quatre relations de voisinage et leur négations "à côté", "entre", "à droite".
Maîtriser "gauche" et "droite" et distinguer les cas où les positions relatives sont contigües (côte à côte) ou directionnelles (non contigües).
négation, déduction, position, entre, à côté, à gauche, à droite
On ne dispose plus des statistique des points attribués du 3e Mathématique romand, mais de résultats globaux issus d'une analyse des copies de 84 classes de catégories 3, 4 et 5 (71 de Suisse romande et 13 de Parme).
La majorité de cs classes (77%) a trouvé la réponse correcte et l'on ne note pas de variation significative entre les catégories ni entre les deux entités géographiques (SH et I).
Toutes les explications fournies supposent, a priori, que le tigre se situe à gauche de l'ours, comme dans la deuxième information de l'énoncé. Aucun groupe ne dit avoir essayé de placer l'ours en premier, à la gauche du tigre. (Nous aurions dû demander explicitement de justifier la réponse (Ce qui a été systématiquement dans les éditions suivantes du Rallye.)
En général c'est le dessin ou la liste ordonnée des cinq animaux qui servent à la fois de réponse et d'explication. Les autres justifications écrites, assez fréquentes, sont accompagnées de considérations du genre:
Pour trouver la place des animaux, nous avons bien lu les indications, (cat 3)
Nous avons réfléchi au problème et avons fait des essais. (cat 3)
Nous avons dessiné les cinq cages. Nous avons suivi les indications données dans le problème. Nous avons dessiné en premier la cage du tigre puis celle de l'ours, nous avons mis la panthère à droite de l'ours, nous avons mis le singe à droite du lion. (cat 3)
Nous avons dessiné les cinq cages en suivant les instructions, nous avons avons disposé les noms dans chacune d'elles. (cat 5)
L'argumentation suivante, relevée plusieurs fois dans les deux pays est plus intéressante car elle indique le raisonnement logique suivi.
J'ai commencé par lire qu'entre les cages du tigre et de l'ours il y a deux cages et j'ai regardé les positions possibles. Il y en avait deux. Puis j'ai vu que la cage de la panthère était à droite de celle de l'ours et il restait deux cages vides. Successivement, j'ai lu que la cage du singe n'était pas à côté de celle de l'ours ni de celle de la panthère. Il ne restait plus qu'une cage et un animal, le lion. J'ai donc mis les cages de la façon suivante: le tigre, le singe, le lion, l'ours et la panthère. (cat 5)
Dans ce dernier exemple, l'utilisation de la première personne par cet élève laisse penser qu'il ne s'agit pas vraiment d'un raisonnement élaboré par le groupe.
Les erreurs
Deux erreurs typiques ont été relevées : confusion entre gauche et droite (dans 6 cas) et une seule cage, au lieu de deux, entre celles du tigre et celle de l'ours (dans 5 cas). Cette deuxième erreur est due à une interprétation de la deuxième consigne comme "la cage du tigre est la deuxième après celle de l'ours" ou "la distance entre celle du tigre et celle de l'ours est deux".
Procédures
Nous sommes ici en présence d'un "vrai" problème d'organisation spatiale et de détermination de la position relative d'objets au moyen des expressions "entre2, "à côté de", "à gauche de", "à droite de". En outre il s'agit de passer d'une séquence d'informations à une conclusion. Les élèves peuvent y arriver par déductions logiques ou par essais successifs. Mais cependant, ces tentatives ne sont pas faites au hasard. L'analyse des quatre conditions de l'énoncé permet de constater que La première laisse 16 dispositions possibles des cages du singe, de l'ours et de la panthère, le deuxième et la troisième n'en laissent que quatre pour le tigre et l'ours et respectivement pour la panthère et l'ours; la quatrième ouvre huit dispositions du lion et du singe.
Evidemment, les élèves n'ont pas fait cette analyse explicitement mais ont toutefois choisi, le plus souvent de commencer par le deuxième et la troisième condition qui n'offrent que quatre possibilités.
Voir aussi problème le problème "isomorphe" (dans un autre contexte) Les cadres (23.I.05).
Extraits de la brochure Ateliers de résolution de problèmes qui propose A la ménagerie parmi 20 problèmes du RMT à résoudre avec du matériel. Dans ce cas, un plan des cinq cages juxtaposées et cinq jetons figurant les animaux à y déposer.
... L’analyse précédente de la tâche de résolution montre que, au-delà de la lecture et de la connaissance de la droite et de la gauche, ce sont les opérations logiques qui sont en mises en oeuvre dans la résolution de ce problème. L’adoption d’une méthode systématique est le premier enjeu. On peut choisir un animal et envisager toutes les cages où il pourrait se trouver, puis de vérifier si cette position est compatible avec chaque consigne. Cette méthode est celle d’un « inventaire exhaustif », qui ne se conclut pas lors de la découverte d’une première solution mais qui doit se poursuivre jusqu’à l’épuisement des possibilités.
Un autre enjeu est le procédé par « éliminations successives ». On choisit une des contraintes du problème (consigne) et l’on dresse l’inventaire des dispositions qui la satisfont. On prend ensuite une deuxième contrainte et, pour chaque disposition retenue précédemment, on procède au rejet de celles qui ne la satisfont pas. Ainsi de suite, chaque contrainte conduit à l’élimination ou à la conservation des dispositions précédentes. Les inventaires et éliminations s’entremêlent et les décisions sont prises en termes de « oui ou non » selon les principes logiques de la négation ou du « tiers exclu » (ou l’un, ou l’autre, mais pas les deux). Ces opérations logiques ne sont pas des connaissances explicitement situées dans les programmes de l’école obligatoire, mais elles sont sous-entendues lorsque l’on parle de « raisonnement » ou de « déduction logique ». Elles ne seront formalisées que dans l’enseignement secondaire supérieur. Il est cependant important de les faire « fonctionner » avec le plus de visibilité possible, dès l’école primaire, lors de phases de validation ou lors de débats collectifs.
... C'est lors d’un débat que peuvent apparaître les différentes phases des raisonnements suivis. Et ce débat doit être la plupart du temps stimulé par des questions de l’enseignant, du genre : « quel est l’animal que vous avez pu placer en premier ? » pourquoi celui-ci ne pourrait-il pas être là ?», « êtes-vous certains qu’il n’a a qu’une seule solution ? ...
Grugnetti. L. Jaquet.F. Vighi.P. Rallye mathématique à l'école primaire In. L'EDUCAZIONE MATEMATICA, 1996 anno XVII - erie V - Vol 1 pp.1-13.
Jaquet.F. Ateliers de résolution de problèmes 2007 Publication ARMT
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