Tarte géométrique

Identification

Rallye: 04.II.13 ; catégorie: 5 ; domaine: GP
Famille:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures

Remarque et suggestion

Résumé

Partager un carré en neuf parties équivalentes: quatre carrés, trois rectangles égaux et deux triangle égaux, dans un contexte de partage d'une tarte.

Enoncé

Notions mathématiques

carré, triangle, rectangle, équivalent, égal, partage

Résultats

Sur 36 classes de catégorie 5 ayant participé au 4e Rallye mathématique romand (RMR):

Selon les critères de l’analyse a priori du problème

• 3 Réponse juste
• 2 Réponse avec une seule erreur pour l'une des parts
• 1 tarte carrée avec erreur sur le nombre et la grandeur des pièces, les formes et nombre des pièces sont justes, mais de grandeurs inégales
  ou tarte rectangulaire, les formes et nombre des pièces sont justes, mais de grandeurs inégales
• 0 Incompréhension du problème ou autres réponses fausses

Remarque: Les attributions de points du RMR se faisaient sur une échelle de 0 à 3

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Comme l'énoncé ne demande pas d'explications mais seulement Aidez la maman de Géo Maître à découper son gâteau. les six réponses correctes se limitent à un dessin du carré réparti en neuf parties équivalentes respectant les conditions données. Il semble évident que le choix des quatre carrés repose sur la grille 3 x 3 de 9 carreaux; les deux triangles occupent un rectangle de 1 x 2 carrés adjacents, les trois rectangles sont contigus, de longueur 3 et de largeur 1/3.

Certaines classes (13) ont respecté la forme carrée de la tarte. Les quatre parts carrées sont en général alignées sur un côté de la tarte ou disposée selon une grille de 2 x 2 dans un angle. Les trois rectangles sont égaux entre eux, mais soit composés de deux des carrés précédents (de dimensions 1 x 2), soit répartis sur un côté de la tarte (de dimensions 1 x 4/3), soit disposés côte à côte sur tout un côté de la tarte (de dimensions "indéterminée" x 4). Les deux triangles sont toujours rectangles et occupent l'espace restant; leur aire est très différente de celle des carrés et rectangles.

Quelques classes ont dessiné une tarte de forme rectangulaire, dont deux avec des rectangles à peu près équivalents aux carrés.

11 classes sur 35 ont livré une copie blanche avec parfois un texte disant que le problème est impossible ou une esquisse de carré.

L'obstacle le plus important est celui de la construction de figures différentes avec des aires égales. le passage du carré au rectangle équivalent, en divisant par 2 l'une des dimensions et multipliant l'autre par 2 n'est pas encore possible pour la grande majorité des groupes, ni celui de la division par 3 d'une des dimensions et la multiplication par 3 de l'autre.

Exploitations didactiques

Il est évident que ce problème est d'un très grand intérêt pour dissocier l'aire d'une figure de sa forme.

La comparaison des dimensions des carrés et des rectangles équivalents conduit à la mise en évidence des rapports 1/2 et 2 ou 1/3 et 3.

La recherche des parts triangulaires conduit à l'équivalence entre les triangles et les carrés qui sont chacun des demi-rectangles de dimensions 1 x 2.

Lorsque les équivalences sont perçues et explicitées en termes de mesures des côtés, le problème peut se poursuivre avec la recherche de toutes les disposition possibles des 9 pièces.

Voir aussi Tarte au citron

Bibliographie

Jaquet. F. Thème 9. Aires et volumes. Problème 3. In Mathématiques, sixième année. Livre de l'élève et Livre du maître. Ed. COROME 2002.

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