Banque de problèmes du RMT
ud186-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTud186-fr |
|
Déterminer le nombre minimum de cartes (dimension 11 cm sur 7 cm) pour recouvrir un tapis rectangulaire de 50 cm sur 40 cm. Des cartes peuvent se superposer.
- Se rendre compte que la solution du problème ne peut pas s’obtenir seulement par des calculs d’aires, mais qu’il s’agit de trouver une disposition des cartes.
(Le quotient de l’aire du tapis, 2000 cm2, par l’aire d’une carte, 77 cm2 est un nombre rationnel non entier - 2000/77 = 25,97... - dont on ne peut tirer qu’une estimation sur le nombre de cartes, qui doit être inférieur ou égal à 25 et supérieur ou égal à 26. Mais il s’agit d’une condition, qui, si on peut la considérer comme nécessaire, n’est pas suffisante. Il suffit d’imaginer un rectangle équivalent, de 4 cm sur 500 cm pour se rendre compte qu’on ne pourrait y placer aucune carte sans dépasser les bords. )
- Remarquer que la disposition immédiate (voir figure) suivante comporte 28 cartes, avec 8 cartes chevauchant partiellement d’autres. Pour faire mieux, il faut donc essayer de recouvrir le tapis avec seulement 26 ou 27 cartes.
- Comprendre que le recouvrement en un minimum de cartes revient à placer le plus possible de cartes (qui ne se superposent pas) dans le tapis puis à « boucher les trous ».
Une stratégie possible est d’essayer d’occuper les bords du rectangle sans chevauchements.
- Se rendre compte que ni 11, ni 7 ne sont des diviseurs de 50 et de 40 et qu’il faut abandonner l’idée de placer toutes les cartes dans la même « direction » ou par rangs complets, ce qui laisserait des bords libres et ne permettrait évidemment pas d’arriver à une solution optimale (figures 1 et 2). Il faut percevoir que 40 et 50 peuvent se décomposer en sommes de multiples de 11 et de multiples de 7 (50 = 28 + 22 et 40 = 33 + 7) (figure3) puis imaginer que, par symétrie centrale, on peut recouvrir les quatre bords (figure 4)
On peut arriver aux mêmes constatations par un dessin (par exemple sur quadrillage) ou par manipulation après découpage de cartes.
- Poursuivre le remplissage à partir des bords, pour arriver au point où l’on ne peut plus ajouter de cartes (comme dans l’exemple de la figure 5) et dénombrer les cartes placées. (25). À ce moment, on peut éventuellement se rapporter au calcul des aires pour constater qu’on a atteint le maximum de 25 cartes.
- Observer les « trous à boucher » et constater que, même si leur aire ne dépasse pas celle d’une carte, il a des « fentes » qui ne peuvent pas être recouvertes par une seule carte et nécessitent trois cartes (figure 6). On arrive alors à un total de 28 cartes pour recouvrir le tapis, comme pour la « disposition immédiate ».
Essayer alors de disposer les 25 cartes dans des dispositions plus favorables (figure 7) et constater qu’il faut toujours trois cartes pour « boucher les trous ».
- Vu que la surface des trous est inférieure à celle d’une carte et qu’il faut de toute manière trois cartes pour « boucher les trous » supposer qu’il y a un « gaspillage » en voulant absolument placer 25 cartes sans superposition. Tenter encore, alors, de « boucher les trous » à partir de 24 cartes et découvrir que trois cartes permettent aussi de compléter les trous même s’ils sont plus grands (par exemple, figure 8). On arrive ainsi à un recouvrement optimal du tapis en 27 cartes.
(Ces recherches de solutions optimales peuvent se faire sur papier quadrillé ou par manipulation avec des rectangles découpés. Les opérations arithmétiques passent ici au second rang.)
pavage, aire
Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.
(c) ARMT, 2010-2024