Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de 0 (zéro) terminant le nombre de tic (ou tac) entendu durant une année en Transalpie, sachant que chacune des 15 horloges possédées par 12345678 foyers émet un tic (ou un tac) chaque seconde.
- Déterminer les grandeurs et opérations qui permettront de calculer le nombre de tics et de tacs : le nombre de foyers, les 15 horloges par foyer, les 365 jours de 2010, les 24 heures de chaque jour, les 3 600 secondes de chaque heure, conduisant au produit:
12 345 678 x 15 x 365 x 24 x 60 x 60.
- Se rendre compte qu’une calculatrice n’affiche pas tous les chiffres de ce produit et qu’elle n’en donne qu’une approximation et un ordre de grandeur sous forme de puissances de 10. Par exemple, sur un affichage de 14 chiffres : 5.83999952E-15 et qu’il faudra soit scinder le calcul en plusieurs phases, soit rechercher le nombre de facteurs 10 du produit en recherchant les facteurs 2 et 5 qui le composent.
- Décomposer par exemple chacun des facteurs :
12 345 678 = 2 x 6 172 839 ; 15 = 5 x 3 ; 365 = 5 x 73 ; 24 = 23 x 3 ; 3600 = 24 x 52 x 9
et constater que le produit cherché est
6 172 839 x 3 x 73 x 9 x 3 x 54 x 28 = 6 172 839 x 73 x 81 x 24 x 104,
ce qui permet de dire que le produit se terminera par 4 zéros.
- Comme certaines calculatrices n’affichent pas tous les chiffres du produit 6 172 839 x 73 x 81 x 24 il faut chercher d’une autre manière son chiffre des unités, à partir des chiffres des unités de chaque facteur. Trouver alors que le dernier chiffre de 3 x 3 x 1 x 8 = 72 est 2.
(Il existe encore de nombreuses autres manières de décomposer les nombres en facteurs premiers qui permettent de faire apparaître les quatre « 0 » de 10000 et le dernier chiffre non nul « 2 ».)
Ou, comprendre que pour déterminer les derniers chiffres il suffit de calculer partiellement les deux produits, a = 12345678 × 15, qui se termine par 170 et b = 3600 × 24 × 365, qui se termine par 36000 ; les derniers chiffres de a × b s’obtiendront par le calcul du produit de 36000 et 170 (ou de 36 et 17 en notation scientifique qui indique le nombre des « 0 ») qui donne 20000.
- Formuler la réponse : le nombre des tic ou tac se terminera par quatre « 0 » précédés d’un « 2 » et donner les explications nécessaires.
multiplication, décomposition en facteurs, numération, base 10
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Reprise du problème Factorielles (17.1.16)
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