Quadrillage (I)

Identification

Rallye: 18.I.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: OPN, GM
Familles:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

Remarque et suggestion

Résumé

Repérer les réponses acceptables parmi 5 propositions de quadrillages «complets» d'une feuille rectangulaire de 36 cm sur 27 cm, par des carrés dont les mesures des côtés sont supérieures à 1 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Se rendre compte que la mesure de l’aire du rectangle est 36 × 27 = 972 (en cm2), et qu’on peut ainsi calculer dans les cinq cas l’aire d’un carré :

  A) 972 : 108 = 9       B) 972 : 243 = 4      C) 972 : 12 = 81	
  D) 972 : 1200 = 0,81   E) 972 : 48 = 20,25

- Se rendre compte qu’il ne suffit pas d’avoir calculé l’aire d’un carré pour juger de la validité de la réponse, mais qu’il faut se demander encore si la longueur du côté est supérieure ou égale à 1 et calculer alors les côtés dans les cinq cas, soit en prenant la racine carrée de l’aire, soit en cherchant par essais un côté qui convient (en le multipliant par lui-même) :

• pour A, B et C le calcul est mental et donne respectivement des côtés de 3, 2 et 9 (en cm),
• pour D et E, il faut penser que les longueurs des côtés ne s’expriment pas forcément en nombres entiers et calculer ou essayer pour obtenir respectivement 0,9 et 4,5 (en cm). Éliminer donc la réponse de D (qu’on aurait aussi pu éliminer précédemment sachant que le maximum de carrés est donné par 972 carrés de 1 cm de côté.)

- Se rendre compte finalement qu’il faut encore vérifier si on peut placer un nombre entier de carrés sur la longueur et la largeur de la feuille. Par exemple, pour A, les deux divisions 36 : 3 = 12 et 27 : 3 = 9 conduisent bien à un total de 12 × 9 = 108 carrés ; pour C on obtient 36 : 9 = 4 et 27 : 9 = 3 et 4 × 3 = 12 carrés ; pour E on obtient 36 : 4,5 = 8 et 27 : 4,5 = 6 et 8 × 6 = 48 carrés. En revanche, pour B, on n’a pas un nombre entier de carrés de 2 cm de côté dans la largeur et il faut réfuter la réponse.

- Il ne reste alors plus qu’à vérifier l’affirmation de C qui dit que 12 est le nombre minimum de carrés. (C’est-à-dire des carrés de 9 cm de côté : 3 dans la largeur et 4 dans la longueur). Il suffit de vérifier que pour avoir moins de 12 carrés, il faudrait essayer d’en placer 2 ou 1 dans la largeur, ce qui n’est pas possible car 27 : 2= 13,5 qui ne divise pas 36 et 27 : 1 = 27 ne divise pas 36.

- En conclure que A, C et E donnent donc une réponse acceptable, B et D non.

Notions mathématiques

multiplication, division, racine carrée, proportionnalité, multiple commun, aire, rectangle, pavage

Résultats

18.I.12

Points attribués sur 2037 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse entièrement correcte (oui  pour A, C, E; non pour B, D),) avec justification pour les cinq cas
• 3 points: Réponse entièrement correcte mais les justifications sont incomplètes
• 2 points: Une erreur dans les réponses, (par exemple rejet de E par des élèves qui cherchent des nombres entiers pour les longueurs des côtés des carrés), justification des quatre autres cas
• 1 point: Deux erreurs dans les réponses
• 0 point: Plus de deux erreurs ou incompréhension du problème

Bibliographie

Adaptation du problème Carrelages (10.I.13)

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