Banque de problèmes du RMT
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Une suite de quatre grilles rectangulaires de 1x3; 2x4; 3x5; 4x6 (avec les nombres correspondants de carrés: 3; 8; 15; 24) étant donnée, dire si l'on trouvera une grille de 120 carrés puis une grille de 240 carrés en poursuivant la suite, par adjonction d'une ligne et d'une colonne à chaque étape.
Observer les quatre grilles, constater que leurs deux dimensions augmentent d'une unité à chaque étape (1;3), (2;4), (3;5), ... et en déduire la règle de construction.
Comprendre qu'il faut soit imaginer, soit dessiner les grilles suivantes pour savoir si l'on trouvera une grille de 120 carrés et de 240 carrés dans la suite.
Conduire la recherche:
- par le dessin des grilles successives jusqu'à celle de 120 carrés puis de 224 carrés puis de 255 carrés;
- par l'inventaire des produits 1x3 = 3; 2x4 = 8, ..., 5x7 = 35, 6x8= 48,... 9 x 11 = 99, 10x12 = 120 pour la dixième grille, et poursuivre la suite des produits ... 14x16 = 224, 15x17 = 255;
- par l'addition des écarts, en nombres de carrés entre une grille et la suivante, qui sont les nombres impairs à partir de 3 : 3 + 5 + ... + 17 + 19 + 21 = 120; 120 + 23 + 25 + 27 + 29 = 224 et 120 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 255;
Constater que 120 apparaît dans la suite alors que 240 n'y apparaît pas.
grille, rectangle, aire, produit, multiplication, somme, addition, suite, succession, fonction
Points attribués sur 143 classes de Suisse romande
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 15 (47%) | 6 (19%) | 5 (16%) | 1 (3%) | 5 (16%) | 32 | 1.22 |
| Cat 4 | 19 (33%) | 8 (14%) | 13 (23%) | 2 (4%) | 15 (26%) | 57 | 1.75 |
| Cat 5 | 18 (33%) | 6 (11%) | 6 (11%) | 3 (6%) | 21 (39%) | 54 | 2.06 |
| Total | 52 (36%) | 20 (14%) | 24 (17%) | 6 (4%) | 41 (29%) | 143 | 1.75 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
- Dans le cadre géométrique: dessin de la suite des grilles sur papier quadrillé, rarement accompagnée de produits. Cette procédure est fréquente en catégories 3 et 4, moyennement efficace. La régularité de la suite apparaît parfois dans la disposition des dessins, mais on n'y perçoit pas de relation fonctionnelle. Cependant, pour ceux qui arrivent à la solution il y a une organisation évidente des dessins et la conscience de la relation entre les dimensions n et n+2.
- Dans les cadres géométrique et numérique: avec accent sur la recherche de produits au détriment de la suite, sans respect de la relation entre les dimensions des deux côtés. Par exemple: 240 = 10 x 24. Ces productions sont très difficiles à évaluer puisque l'idée de suite n'est pas comprise, mais on peut - accessoirement- recueillir des informations sur les compétences en multiplication. Ces procédures sont fréquentes en catégories 3 et 4.
- Dans les cadres géométrique et numérique: avec un fort accent sur le concept de suite: par exemple 24 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 120, avec parfois le dessin de la suite de rectangles, superposés où n'apparaît que la partie qui "dépasse" le rectangle précédent. Ces procédure sont fréquente en catégories 4 et 5, et efficaces. Le concept de suite est bien mis en oeuvre, la relation fonctionnelle n'est pas mise en évidence (elle n'est d'ailleurs pas nécessaire pour la résolution).
Accessoirement, on recueille dans ces copies des informations précieuses sur la maîtrise de la multiplication, sur la construction de rectangles et sur le raisonnement déductif permettant de répondre "non" à la deuxième question.
- Dans les cadres géométrique et numérique, l'obstacle du "modèle exclusif de linéarité" interfère sur la recherche et conduit à une solution erronée du genre:
En continuant ainsi, puisqu'on est arrivé à 120 on calcule le double de 120 qui est 240
Cette procédure erronée "par proportionnalité" est rare en catégorie 3 mais fréquente en catégories 4 et 5.
Le concept de suite est souvent mis en oeuvre dans la première partie de la recherche, puis le modèle de la linéarité l'emporte.
Accessoirement, on recueille des informations précieuses sur la (non) maîtrise du calcul de l'aire d'un rectangle et, au plan du raisonnement déductif, sur l'absence d'un contrôle de la réponse.
- Quelques classes de catégorie 3 et de rares classes de catégorie 4 n'ont pas pu "entrer" dans le problème.
Ce problème est intéressant pour renforcer ou construire les deux concepts suivants:
- l'aire du rectangle comme produit des mesures de ses deux dimensions, avec ses représentations géométriques par des grilles
- l'approche de suites ou de progressions avec les lois de passage d'une grille à la suivante, soit en augmentant à chaque fois les deux facteurs d'une unité, soit en additionnant les écarts successifs (qui sont eux-mêmes la suite les nombres impairs successifs)
Il permet encore de lutter contre la "tentation de la proportionnalité", c'est-à-dire l'application mécanique et non raisonnée de la règle réciproque de "si je double les dimensions, l'aire double aussi".
Voir aussi la seconde version, avec modifications mineures, du problème Grilles (25.I.06). Les moyennes des points obtenues pour les catégories correspondantes sont pratiquement les mêmes.
Jaquet. F. Le traitement d'une fonction, obstacles et représentations. In Actes des journées d'études sur le Rallye mathématique transalpin. Siena 1999, Neuchâtel 2000 Ed. responsables: Grugnetti L. Jaquet F. IRDP Neuchâtel, Università di Siena (2000)
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