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Le réseau hexagonal de Rosalie

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Rallye: 19.F.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Dénombrer un nombre de chemins dans un réseau hexagonal.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer la structure de la grille : une alvéole centrale (1), et trois « ceintures » d’hexagones concentriques d’alvéoles 2, 2 et 3

- Observer que les des deux alvéoles 2 d’un chemin ne peuvent pas être sur le même hexagone.

- Compter qu’il y a six choix pour la première alvéole 2 (du premier hexagone)

- Compter qu’il y a pour chacune de ces premières alvéoles 2, trois possibilités de prendre une deuxième alvéole 2 du deuxième hexagone (voir le motif partiel ci-dessous).

- Compter qu’il y a, pour ces dernières alvéoles 2, selon leur position, deux ou trois possibilités d’aboutir à une alvéole 3. (Si l’alvéole 2 est au sommet de l’hexagone, elle est voisine de trois alvéoles 3, si l’alvéole 2 est au milieu d’un des côtés de l’hexagone, elle n’est voisine que de deux alvéoles 3.

- En déduire que le nombre de chemins 1-2-2-3 possibles correspond se calcule par (6 x 2 x 2) + (6 x 1 x 3) = 42

Ou bien:

- Compter qu’il y a 7 chemins 1-2-2-3 dans le motif ci-dessous et remarquer qu’il se répète radialement six fois pour donner la grille

Ou bien:

- Observer que les alvéoles 3 des sommets de l’hexagone du bord ne peuvent être atteintes que par un seul chemin (en ligne droite) alors que les alvéoles 3 à qui ne sont pas sur les sommets peuvent être atteintes par trois chemins. et que, par conséquent il y a 42 = (6 x 1) + (12 x 3) chemins possibles.

Notions mathématiques

réseau hexagonal, dénombrement

Résultats

19.F.12

Points attribués sur 161 classes:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	23 (41%)	11 (20%)	3 (5%)	6 (11%)	13 (23%)	56	1.55
Cat 7	10 (19%)	16 (30%)	3 (6%)	5 (9%)	20 (37%)	54	2.17
Cat 8	7 (14%)	15 (29%)	5 (10%)	5 (10%)	19 (37%)	51	2.27
Total	40 (25%)	42 (26%)	11 (7%)	16 (10%)	52 (32%)	161	1.99
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (42) et le dénombrement est expliqué ou montré
3 points: Réponse correcte et les explications sont partiellement données
ou réponse 36 qui correspond à l’oubli d’un chemin passant par une des alvéoles 2 située sur un sommet du deuxième hexagone (deux chemins pour aller sur une alvéole 3 au lieu des trois possibles)
2 points: Réponse correcte sans explication
ou une réponse de 37 à 41
1 point: De 30 à 35 chemins
ou absence de réponses mais début d’organisation cohérente du comptage
ou une réponse supérieure à 42, justifiée par des calculs basés sur une confusion de chemins (par exemple 6 x 3 x 3 = 54 en faisant l’erreur que pour chaque deuxième 2 on a trois possibilités d’arriver à une alvéole 3)
0 point: Moins de 30 chemins ou incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT