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Banque de problèmes du RMTud309-fr |
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Dénombrer un nombre de chemins dans un réseau hexagonal.
Analyse a priori
- Observer la structure de la grille : une alvéole centrale (1), et trois « ceintures » d’hexagones concentriques d’alvéoles 2, 2 et 3
- Observer que les des deux alvéoles 2 d’un chemin ne peuvent pas être sur le même hexagone.
- Compter qu’il y a six choix pour la première alvéole 2 (du premier hexagone)
- Compter qu’il y a pour chacune de ces premières alvéoles 2, trois possibilités de prendre une deuxième alvéole 2 du deuxième hexagone (voir le motif partiel ci-dessous).
- Compter qu’il y a, pour ces dernières alvéoles 2, selon leur position, deux ou trois possibilités d’aboutir à une alvéole 3. (Si l’alvéole 2 est au sommet de l’hexagone, elle est voisine de trois alvéoles 3, si l’alvéole 2 est au milieu d’un des côtés de l’hexagone, elle n’est voisine que de deux alvéoles 3.
- En déduire que le nombre de chemins 1-2-2-3 possibles correspond se calcule par (6 x 2 x 2) + (6 x 1 x 3) = 42
Ou bien:
- Compter qu’il y a 7 chemins 1-2-2-3 dans le motif ci-dessous et remarquer qu’il se répète radialement six fois pour donner la grille
Ou bien:
- Observer que les alvéoles 3 des sommets de l’hexagone du bord ne peuvent être atteintes que par un seul chemin (en ligne droite) alors que les alvéoles 3 à qui ne sont pas sur les sommets peuvent être atteintes par trois chemins. et que, par conséquent il y a 42 = (6 x 1) + (12 x 3) chemins possibles.
réseau hexagonal, dénombrement
Points attribués sur 161 classes:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 6 | 23 (41%) | 11 (20%) | 3 (5%) | 6 (11%) | 13 (23%) | 56 | 1.55 |
Cat 7 | 10 (19%) | 16 (30%) | 3 (6%) | 5 (9%) | 20 (37%) | 54 | 2.17 |
Cat 8 | 7 (14%) | 15 (29%) | 5 (10%) | 5 (10%) | 19 (37%) | 51 | 2.27 |
Total | 40 (25%) | 42 (26%) | 11 (7%) | 16 (10%) | 52 (32%) | 161 | 1.99 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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