Carrelage géométrique

Identification

Rallye: 20.II.17 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• IF - Identifier des figures
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Un carré est formé de deux familles de 4 triangles et d'un carré central dont la longueur du côté vaut 20cm. 4 triangles équilatéraux sont accolés au carré central et 3 triangles isocèles forment bordure. Trouver l'aire formée par chacune des familles de triangle.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori :

- Calculer l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c = 20$ cm dont la hauteur est donnée:

• soit par la formule connue : $c \times \sqrt{3}/2$
• soit en utilisant la propriété de Pythagore sur le triangle rectangle formé par la moitié d’un triangle équilatéral de côté $c$ : le carré de sa hauteur est donc égal à $c^2–c^2/4 = 3c^2/4$.

L’aire du triangle équilatéral est le demi-produit de sa base $c$ par sa hauteur $c \times \sqrt{3}/2$, soit $(c^2/4)\sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \approx 173,20$ (en cm2).

- Conclure que la mesure de l’aire recouverte par les quatre triangles blancs est $400 \sqrt{3} \approx 692,82$ cm².

- Il reste à trouver l’aire du carreau. Il faut justifier que c’est un carré.

La figure a 4 axes de symétrie constitués par les diagonales et les médianes du petit carré gris clair. Ces médianes sont les diagonales du carreau, elles sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Le carreau a donc la forme d’un carré.

- Pour trouver la mesure de l’aire de ce carré, on peut déterminer la longueur d’une diagonale, formée d’un côté du petit carré et de deux hauteurs des triangles équilatéraux. On obtient $c + c\sqrt{3} = c (1+\sqrt{3})$.

- L’aire du grand carré est donc égale à $(c2/2) \times (1 + \sqrt{3})^2$.

- L’aire de la bordure gris foncé est alors obtenue par la différence (aire du grand carré – aire de l’étoile) :

$(c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})^2 – (c^2 + 4(c^2/4) \sqrt{3})$ 

$= (c^2/2) \times(1 + \sqrt{3})2 – c^2(1 + \sqrt{3}) = (c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})[(1 + \sqrt{3}) – 2]$

$= (c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = c^2 = 400$ cm2.

Notions mathématiques

carré, symétrie du carré, aire, triangle équilatéral, triangle isocèle, aire

Résultats

22.II.17

Points attribués sur 212 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux mesures correctes (400 ou environ 692,82 et 400, en cm2) avec justification claire et complète
• 3 points: Les deux mesures correctes avec des explications insuffisantes mais montrant une démarche correcte pour trouver l’aire du carreau
  ou les deux mesures avec explications claires mais avec une erreur de calcul
• 2 points: L’aire de la partie blanche calculée correctement, avec justifications
• 1 point: Début correct de recherche pour l’aire des triangles blancs
• 0 point: Seulement l’aire du carré central est déterminée
  ou incompréhension du problème

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