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Frises

Identification

Rallye: 20.F.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Dénombrer le nombre de carrés, d'hexagones et d'octogones dans une frise formées d'assemblages de polygones réguliers.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre comment se construit chacune des deux frises en reconnaissant un motif répété (qui permet de « paver » la frise).

- Pour la frise de Paul, il faut ajouter 2 carrés (au début ou à la fin) aux 3 carrés contenus dans le motif répété de la figure ci-contre : le nombre de carrés est donc du genre 3n + 2.

(On peut aussi, sans compter les motifs répétés, voir qu’il manque un carré à droite et que le nombre de carrés vaut un de moins qu’un multiple de 3.)

un exemple de motif répété de la frise de Paul

- Pour la frise de Jules le motif répété est composé de 4 carrés. En choisissant celui de la figure ci-contre il faut ajouter un carré à gauche. Le nombre de carrés est donc égal à 4m + 1

un exemple de motif répété de frise de Jules :

- On obtient ainsi les deux suites de nombres suivantes :

Nombre de carrés dans la frise de Paul : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ;23 ;26 ; 29 ; …
Nombre de carrés dans la frise de Jules : 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21 ; 25; 29 ; …
Constater que le seul nombre commun compris entre 20 et 30 est 29.

- En déduire que le motif principal de la frise de Paul se répète 9 fois (29 = 9 x 3 + 2)

Comme le motif principal contient 3 octogones et qu’il faut ajouter un octogone supplémentaire (au début ou à la fin), on obtient : 9 x 3 + 1 = 28 octogones.

- En déduire que le motif principal de la frise de Jules se répète 7 fois (29 = 7 x 4 + 1) et qu’à la fin, il n’y a plus d’hexagones à dessiner. Vu que dans chaque motif, il y a 3 hexagones, le nombre d’hexagones est égal à 7 x 3 = 21.

Notions mathématiques

frise, isométrie, addition, multiple

Résultats

20.F.17

Points attribués sur 90 copies de 16 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	26 (54%)	7 (15%)	0 (0%)	4 (8%)	11 (23%)	48	1.31
Cat 9	12 (44%)	4 (15%)	3 (11%)	2 (7%)	6 (22%)	27	1.48
Cat 10	5 (33%)	4 (27%)	1 (7%)	2 (13%)	3 (20%)	15	1.6
Total	43 (48%)	15 (17%)	4 (4%)	8 (9%)	20 (22%)	90	1.41
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponses correctes (29 carrés, 28 octogones, 21 hexagones) avec explications complètes
3 points: Réponses correctes, avec explications incomplètes
2 points: Réponses correctes sans aucune explication ni justification
ou deux réponses correctes avec élément de justification (un motif répété)
1 point: Début de recherche cohérente ou une seule réponse correcte
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT