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Que de carrés !

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Rallye: 20.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Subdiviser un carré en respectivement 7, 11, 12 et 17 carrés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Après avoir compris les règles de partage, chercher les quatre subdivisions demandées. Celle en 7 parties se trouve facilement à partir de celle en 4 parties, en remplaçant un carré par quatre plus petits ; les autres se trouvent par un même principe à partir des subdivisions précédente, ou d’une autre subdivision en un nombre pair de carrés (voir le partage en 12 carrés ci-dessous).

Voici un exemple, parmi de nombreux autres, pour chacune des subdivisions demandées : en 7 carrés : en 11 carrés : en 12 carrés : en 17 carrés :

- Envisager une recherche systématique :

à partir de la subdivision en 4 carrés, (un carré partagé en 4 carrés plus petits donne une subdivision en 3 carrrés de plus) on obtient une suite de raison 3 : 1, 4, 7, 10, 13, 16, … carrés (de teme général 3n + 1)

on peut aussi obtenir toutes les divisions en nombres pairs de carrés à partir de 4 : n petits carrés sur deux côtés adjacents du grand, qui donne la suite 4, 6, 8, 10, 12, …, 2n :

- On constate que, en combinant les deux suites précédentes, on peut obtenir tous les nombres naturels 1, 4, 6, 7, 8, 9 (6 + 3), 10, 11 (8 + 3), 12, 13, 14, … sauf 2, 3 et 5.

Il est évident qu’il est impossible de subdiviser un carré en deux carrés, de même qu’en trois carrés.

Il est clair qu’on ne peut pas envisager la subdivision en 5 carrés égaux. On ne peut pas non plus envisager la subdivision en 5 carrés inégaux.

Notions mathématiques

carré, subdivision

Résultats

20.F.19

Points attribués sur 42 copies de 7 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 9	4 (15%)	13 (48%)	9 (33%)	1 (4%)	0 (0%)	27	1.26
Cat 10	3 (20%)	7 (47%)	3 (20%)	2 (13%)	0 (0%)	15	1.27
Total	7 (17%)	20 (48%)	12 (29%)	3 (7%)	0 (0%)	42	1.26
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte et complète (dessins des quatre subdivisions en 7, 11, 12 et 17 carrés ; généralisation pour tous les entiers naturels à l’exception de 2, 3, et 5) avec explications claires qui montrent les possibilités de subdivision
3 points: Réponse correcte à la première question (dessins pour 7, 11, 12 et 17 carrés) et affirmation de l’impossibilité pour les cas 2, 3, 5 sans arriver à généraliser à tous les autres nombres naturels, mais avec tentatives qui font apparaître au moins une suite de subdivisions
2 points: Réponse correcte à la première question et détermination d’autres subdivisions pour au moins 5 nombres avec explications claires
ou réponse correcte à la première question prima avec l’affirmation de l’impossibilité pour les cas 2, 3, 5, sans tentative de généralisation
1 point: Début de recherche, par exemple trois des dessins demandés
0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

Voir Des carrés à n'en plus finir (6.F.12)

Banque de problèmes du RMT