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Chemin d'allumettes

Identification

Rallye: 22.F.03 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

Résumé

Trouver tous les chemins qui peuvent être tracés sur une portion de quadrillage en se déplaçant uniquement vers le haut ou vers la droite.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Se rendre compte que, vu les avis divergents, l’enjeu du problème est de déterminer le nombre de chemins différents, après avoir constaté que les chemins les plus courts sont constitués de 5 allumettes : 3 horizontales et 2 verticales.

- Comprendre les contraintes du problème et leur conséquence : un chemin de 5 allumettes ne peut être réalisé qu'en se déplaçant vers la droite ou vers le haut.

- Stratégie par tracé effectif de chemins, sans organisation au départ, puis avec une organisation progressive en essayant de trouver des chemins différents de ceux déjà obtenus. Il faut relever ici que les huit chemins, de couleurs différentes, sur un même dessin sont absolument illisibles et que c’est aux élèves de penser à tracer les chemins sur plusieurs dessins.

- Stratégie consistant à noter sur chaque extrémité, à partir de A, le nombre de chemins qui y mènent et, lorsqu’il y a intersection, de calculer la somme des deux chemins qui y mènent.

        2     5     8 (B)
  1     2     3     3
  0 (A) 1     1

Ou : changer de cadre en utilisant un codage du type h (vers le haut) et d (vers la droite) et chercher à produire toutes les séquences de 5 lettres compatibles avec la portion de quadrillage repésentée par les allumettes. La recherche de toutes les séquences peut être organisée ou non. Une organisation du type arbre peut être envisagée (avec 2h et 3d) ou simplement la recherche des 10 arrangements de trois “d” et deux “h” en éliminant ceux qui ne respectent pas les contraintes liées au dessin par exemple trois d de suite ou deux h de suite pour commencer.

  ddhdh   ddhhd   dhddh   dhdhd   dhhdd   hdddh   hddhd   hdhdd

Dans tous les cas, terminer en dénombrant les chemins pour pouvoir affirmer qu’aucun des trois enfants a raison

Notions mathématiques

chemin, allumette

Résultats

22.F.03

Points attribués sur 162 classes de 16 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	10 (20%)	17 (35%)	17 (35%)	1 (2%)	4 (8%)	49	1.43
Cat 4	8 (14%)	10 (17%)	31 (53%)	5 (8%)	5 (8%)	59	1.81
Cat 5	14 (26%)	5 (9%)	26 (48%)	3 (6%)	6 (11%)	54	1.67
Total	32 (20%)	32 (20%)	74 (46%)	9 (6%)	15 (9%)	162	1.65
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (les trois enfants ont tort car il y a 8 chemins) avec tracés bien distinguables ou représentations par des suites de symboles
3 points: Réponse correcte (les trois enfants ont tort car il y a 8 chemins) mais tracés peu lisibles, (tous sur le même dessin)
ou 8 tracés explicites, réponse « les trois enfants ont tort » non formulée
2 points: L’un des enfants a raison (7 ou 10 tracés) ou les trois ont tort avec 6, 7 chemins tracés de façon explicite
ou plus de 8 chemins dénombrés, mais au moins 6 chemins tracés respectant les contraintes de l’énoncé (erreur dans le dénombrement dû à des tracés superposés)
1 point: Réponse avec 4 ou 5 tracés
0 point: Incompréhension du problème
ou pas plus de 3 chemins tracés

Bibliographie

Origine: 01.F.10

Banque de problèmes du RMT