Banque de problèmes du RMT
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Partager un carré par deux segments en quatre parties isométriques puis par trois segments en quatre parties isométriques.
- Découvrir les cas les plus évidents : les deux exemples et le cas du découpage en 4 : carrés par deux segments médiatrices des côtés (figure 2a), en 4 triangles : par une médiatrice et deux diagonales des rectangles (figure 3a).
- Après quelques essais, comprendre que, dans le cas de deux segments, ceux-ci doivent passer par le centre du carré et être perpendiculaires, pour des raisons d’isométrie ; dans le cas de trois segments, l’un doit être sur l’une des médiatrices, les autres doivent partager chacun des deux rectangles en deux parties égales.
- Découvrir que, pour le cas de deux segments, ceux-ci ne sont pas forcément sur les diagonales ou sur les médiatrices, mais que les deux segments perpendiculaires, passant par le centre, non parallèles aux côtés forment quatre quadrilatères, et que ces quadrilatères sont isométriques (images les uns des autres par rotation d’un quart de tour autour du centre du carré) : (fig. 2b)
- Se rendre compte qu’on a « autant de solutions que l’on veut » ou « une infinité » dans ce dernier type de partage, correspondant à toutes les positions possibles d’un segment passant par le centre et dont une extrémité décrit un quart du périmètre du carré.
- Dans le cas de trois segments, constater que le premier doit obligatoirement diviser le carré en deux figures ayant un centre de symétrie - c’est-à-dire deux rectangles - et que les autres segments doivent passer par le centre de symétrie des rectangles. Ici aussi, se rendre compte qu’on a une infinité de possibilités de déplacer le deuxième segment en le faisant tourner autour du centre de symétrie du rectangle. (Le troisième se construit par symétrie axiale ou centrale dans le deuxième rectangle).
- Énoncer les résultats :
Avec 2 segments : 1 solution donnant 4 triangles (exemple), 1 solution donnant 4 carrés (fig. 2a), et une infinité donnant 4 quadrilatères dont deux angles opposés sont droits (figure 2b).
Avec 3 segments : 1 solution donnant 4 rectangles (exemple), 1 solution donnant 4 triangles rectangles (fig. 3a) et une infinité de solutions donnant quatre trapèzes rectangles qu’on pourrait encore subdiviser en deux catégories, de hauteur 1/2 (fig. 3.b1) ou de hauteur 1 (fig. 3.b2).
figure, isométrie, infini, carré
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