Banque de problèmes du RMT
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Calculer l’aire d’une figure composée de 8 carrés se chevauchant partiellement, disposés en spirale, l’un des côtés de chacun d’eux coïncidant avec la diagonale du précédent (les 6 premiers carrés sont dessinés ; le côté du 1er carré mesure 1 cm).
- Analyser le dessin et percevoir les règles de succession des six carrés : le carré de départ, le point commun, la coïncidence d’un côté du nouveau carré avec la diagonale du précédent.
- Compléter le dessin avec le 7ème et le 8ème carré ; comprendre que le 8ème carré recouvre entièrement la moitié visible du 1er carré ; comprendre en regardant le dessin ou bien en considérant la suite des angles de 45° entre un carré et le suivant, que ces 8 angles au sommet commun des carrés forment un tour complet (360°).
- imaginer le premier carré ou en dessiner son contour sous le deuxième, constater alors son découpage en deux triangles rectangles « triangles de base » ; imaginer le deuxième ou en dessiner son contour sous le troisième, constater que lui aussi se décompose en deux triangles rectangles composés chacun de deux « triangles de base ».
- Comprendre alors qu’on obtient l’aire demandée en faisant la somme des aires des demi-carrés (du 2ème au 7ème) et du carré entier (le 8ème).
- Constater que l’aire de chaque carré (ou demi-carré) est le double de l’aire de celui qui le précède (comme le montre la figure). Par conséquent, à partir du 1er carré (non visible) qui a une aire de 1 cm2, en doublant, on trouve les aires des carrés suivants, et donc de leur moitié, c’est-à-dire des triangles rectangles visibles.
- La somme à calculer, en cm2, est donc 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128 ; on obtient 191 cm2.
- On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore (à partir du niveau 8) pour déterminer la longueur de l’hypoténuse de chaque triangle rectangle qui est aussi un côté de l’angle droit du triangle rectangle suivant ; ensuite calculer les aires des différents triangles rectangles et de la 8e figure carrée et de leur somme.
superposition, carré, suite de figures
Points attribués, sur 2591 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 640 (62%) | 318 (31%) | 54 (5%) | 15 (1%) | 11 (1%) | 1038 | 0.5 |
| Cat 7 | 426 (46%) | 372 (41%) | 68 (7%) | 13 (1%) | 38 (4%) | 917 | 0.76 |
| Cat 8 | 223 (35%) | 278 (44%) | 73 (11%) | 15 (2%) | 47 (7%) | 636 | 1.03 |
| Total | 1289 (50%) | 968 (37%) | 195 (8%) | 43 (2%) | 96 (4%) | 2591 | 0.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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