Rue de la république

Identification

Rallye: 23.II.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer deux nombres différents de deux chiffres sachant que le chiffre des dizaines de l’un est le chiffre des unités de l’autre et réciproquement, que leur différence est 18, leur somme est multiple de 6 et leur produit multiple de 8.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les contraintes de la situation (avec une contrainte sous-entendue : les deux nombres sont différents) et les interpréter.

- Faire la liste des couples de nombres à deux chiffres différents et tester les trois conditions (utilisation d’un tableur ?)

- Stratégie par raisonnement et inventaire à partir de la condition sur la différence et par essais organisés : tenant compte que la différence des deux nombres est 18, obtenir la liste suivante des couples à étudier : (31, 13) ; (42, 24) ; (53, 35) ; (64, 46) ; (75, 57) ; (86, 68) ; (97, 79). Examiner ensuite si les deux autres conditions sont vérifiées.

- Stratégie par raisonnement et inventaire à partir de la condition sur la somme : recherche des multiples de 6 supérieurs à 30 et inférieurs à 200 : 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,… et déterminer ceux qui sont sommes de 2 nombres ayant les mêmes chiffres et vérifiant la dernière contrainte. La somme étant multiple de 6, elle est paire et donc les deux nombres sont soit tous deux pairs soit tous deux impairs, mais le produit des 2 nombres étant multiple de 8, il sont nécessairement tous deux pairs et les chiffres ne peuvent être que 2, 4, 6 ou 8.

- Stratégie par raisonnement à partir de la condition sur le produit : le produit étant multiple de 8, on en déduit que l’un des nombres est multiple de 8 ou que l’un est multiple de 4 et l’autre de 2. Faire l’inventaire des nombres possibles et vérifier les autres conditions.

- On peut éventuellement considérer la stratégie suivante, d'abord algébrique, ensuite arithmétique:

• Les deux nombres s'écrivent 'ab' et 'ba' avec 1 ≤ a ≤ 9 et 1 ≤ b ≤ 9, en supposant a > b.
• Traduire algébriquement que leur différence est 18 : 'ab' − 'ba' = (10a + b) - (10b + a) = 9 (a-b) = 18, d’où a-b = 2.
• En déduire les couples de nombres possibles (31, 13) ; (42, 24) ; (53, 35) ; (64, 46) ; (75, 57) ; (86, 68) ; (97, 79).
• Continuer avec une procédure arithmétique en vérifiant pour chaque couple les deux conditions sur la somme et sur le produit. La parité du produit peut être utilisée pour conserver seulement les couples composés de nombres pairs avant de vérifier la condition sur la somme.

- Ou bien traduire algébriquement que leur somme est multiple de 6 :

• 'ab' + 'ba' = (10a + b) + (10b + a) = 11 (a + b) = 6 n, donc a + b est multiple de 6.
• En déduire les couples de nombres possibles (15, 51) ; (24, 42) ; (39, 93) ; (48, 84) ; (57, 75).
• Continuer avec une procédure arithmétique en vérifiant pour chacun des couples les deux conditions sur la différence et sur le produit.

Toutes ces stratégies aboutissent à la réponse (24 ; 42).

Notions mathématiques

multiple, unité, dizaine, somme, produit

Résultats

23.II.15

Points attribués, sur 1859 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (42 ; 24) avec des explications claires de la démarche suivie
• 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou peu claires de la démarche, mais qui tient compte de toutes les contraintes
• 2 points: Réponse exacte sans explications ou sans vérifications de toutes les contraintes
• 1 point: Début de raisonnement correct (prise en compte que les nombres ont chacun deux chiffres, que les chiffres sont différents…)
• 0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

Refonte de Anniversaires et bougies (16.F.14)

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