Banque de problèmes du RMT
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Calculer la distance d entre deux carrés concentriques dont le périmètre de l’un vaut 3,60 m de plus que celui de l’autre et trouver les longueurs possibles du périmètre du petit carré comprises entre des limites données: 25d et 30d.
- Imaginer ou représenter par un dessin les deux carrés, une bordure entière dans un cas particulier, observer la position des dalles des quatre sommets, tout en se rendant compte que le nombre des dalles et leurs dimensions sont l’enjeu du problème.
- Dans une procédure par essais, choisir un certain nombre (N) de dalles par côté (avec ou sans dessin) ; calculer la longueur des deux périmètres (en « côtés de dalles ») pour arriver à 4 × N et 4 × (N + 2) et constater que la différence de 3,60 m correspond à 8 « côtés de dalles » d’où l’on tire qu’un côté de dalle mesure 0,45 m. (Cette procédure peut ouvrir la voie, en cas d’essais répétés, à la perception de la « constance » de la mesure d’un côté de dalle, indépendamment du nombre imaginé (N) de dalles, c’est-à-dire indépendamment de la longueur des côtés de la piscine. Elle peut aussi permettre d’accéder directement à une ou plusieurs réponses à la deuxième question.)
- ou par une procédure géométrique, par addition ou soustraction de segments, constater que l’allongement de 3,60 m correspond aux deux côtés « libres » (non communs avec ceux des dalles voisines), de chacune des quatre dalles des sommets, c’est-à-dire à la longueur de 8 côtés de dalles.
- ou, par une procédure algébrique, avec L et l comme longueurs respectives des côtés des deux carrés, on pose l’équation 4L = 4l + 3,60, qui conduit à L – l = 0,90. Le côté d’une dalle mesure donc 0,45 m.
- Pour répondre à la deuxième question sur la mesure du côté de la piscine, à partir du « 0,45 » obtenu précédemment, comprendre qu’il faut utiliser les données sur le nombre de dalles (pour se restreindre à quelques solutions seulement) et que le nombre des dalles se situe entre 101 et 125. On peut procéder par essais ou tenir compte du fait que le nombre total des dalles est un multiple de 4 : 104, 108, 112, 116, 120, 124 ; et que sans les dalles des sommets on peut avoir 25, 26, 27, 28, 29, 30 dalles par côté, donc les longueurs des côtés de la piscine peuvent être (en m) : 11,25 ; 11,70 ; 12,15 ; 12,60 ; 13,05 et 13,50.
Points attribués, sur 939 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 320 (50%) | 179 (28%) | 81 (13%) | 30 (5%) | 26 (4%) | 636 | 0.84 |
| Cat 9 | 63 (40%) | 50 (31%) | 25 (16%) | 15 (9%) | 6 (4%) | 159 | 1.06 |
| Cat 10 | 59 (41%) | 43 (30%) | 27 (19%) | 9 (6%) | 6 (4%) | 144 | 1.03 |
| Total | 442 (47%) | 272 (29%) | 133 (14%) | 54 (6%) | 38 (4%) | 939 | 0.91 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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