Triangoli di uaguale area

Identificazione

Rally: 23.II.17 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GM
Famiglie:

• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare il numero di triangoli che si possono costruire conoscendo la lunghezza di due lati e la loro area e calcolare poi la lunghezza del terzo lato.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Escludere che i lati di 5 cm e 8 cm siano i lati dell’angolo retto di un triangolo rettangolo: (5 x 8)/2 = 20 ≠ 16.

- Scegliere uno dei due lati conosciuti come base del triangolo ABC da costruire, utilizzare la formula dell’area del triangolo per determinare la misura dell’altezza corrispondente. Se, per esempio, si sceglie il lato AB = 8 cm per base, l’altezza corrispondente misura 4 cm.

- Il terzo vertice del triangolo da costruire è quindi situato su una delle due rette parallele a questa base, distanti 4 cm. Si considera solo una di queste due rette perché, per ragioni di simmetria, i triangoli costruiti sull’altra non saranno differenti.

- Utilizzare la lunghezza nota del secondo lato (5 cm) per determinare, con un compasso, le possibili posizioni del terzo vertice sulla retta considerata.

- Il cerchio centrato sul vertice A di raggio 5 cm, interseca questa retta in due punti C e D, vertici dei triangoli cercati. Il cerchio centrato sul vertice B interseca questa retta in due altri punti che sono vertici di triangoli uguali ai precedenti per simmetria.

- Successivamente, è possibile su un disegno ben fatto usare il righello per misurare la lunghezza del terzo lato (valore approssimato che non soddisfa la domanda di calcolare la sua misura, ma accettabile al livello 8 senza supporre noto il teorema di Pitagora).

- Calcolare la lunghezza possibile del terzo lato. Per questo, se H e K sono i piedi delle altezze tracciate da C e D:

   * determinare le lunghezze AH e AK applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli AHC e AKD (AH = AK = 3 cm, se AB = 8 è scelto come base),
   * dedurne la lunghezza BC, applicando di nuovo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BHC: si ottiene BC = $\sqrt{41}$ cm);
   * dedurne allo stesso modo la lunghezza BD, utilizzando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo DKB: si ottiene DB = $\sqrt{137}$ cm.

- Prendendo per base il lato di 5 cm, si ottengono gli stessi triangoli, ma con calcoli più complicati:

per il triangolo ABC, AB = 5 cm; AC = AD = 8 cm; CH = 6,4 cm;

AH² = AC² – CH² = 64 – 40,96; AH = 4,8 cm, HB = 0,2 cm;

BC² = CH² + HB² = 40,96 + 0,04 = 41,

da cui BC = $\sqrt{41}$ cm. Si ritrova la stessa lunghezza come nel caso precedente. Stessa cosa per il triangolo ABD.

Risultati

23.II.17

Su 303 classi di 9 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposte corrette (2 triangoli e le misure dei terzi lati: $\sqrt{41}$ cm et$\sqrt{137}$ cm) con spiegazioni chiare e complete, con un disegno e dei calcoli
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni incomplete o poco chiare
  oppure risposta sbagliata dovuta ad un errore di calcolo ma con spiegazioni corrette
  oppure risposte approssimative (2 triangoli e le misure dei terzi lati 6,4 centimetri e 11,7 centimetri) ottenute su un disegno preciso,
  oppure risposta: 4 o 8 triangoli (un triangolo e il suo simmetrico rispetto ad uno dei lati e/o un triangolo e il suo simmetrico rispetto alla mediana di uno dei lati) e calcolo corretto della lunghezza del terzo lato con spiegazioni chiare e complete
• 2 punti: Risposte corrette senza spiegazione, né calcolo
  oppure risposta parziale (1 triangolo) con spiegazioni chiare e complete
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto che dimostra la comprensione del problema (per esempio, disegno di un triangolo senza costruzione, misura di un lato e dell’altezza corrispondente e calcolo dell’area)
• 0 punto: Incomprensione del problema

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