Spirale de carrés (II)

Identification

Rallye: 23.II.18 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GM, GP
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• SF - Etudier des suites de figures

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer la surface occupée par une suite de 20 carrés, le premier ayant 1 cm de côté, partiellement superposés, disposés en « spirale » avec un sommet commun et le côté de chacun coïncidant avec la diagonale du précédent (les six premiers carrés sont dessinés).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Analyser le dessin et percevoir les règles de succession des six carrés : le carré de départ, le point commun, la coïncidence d’un côté du nouveau carré avec la diagonale du précédent… et le fait important que le septième carré ne recouvrira pas le premier mais que le huitième le fera et de même pour les suivants.

- Constater, éventuellement après avoir dessiné les parties cachées de quelques carrés (cf. la figure ci-dessus), que seule une moitié de chaque carré est visible et que l’aire d’un carré ou d’un triangle rectangle est le double de celle de l’aire du carré qu’il recouvre à moitié ou du triangle rectangle qui le précède. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse de chaque triangle rectangle qui est aussi un côté de l’angle droit du triangle rectangle suivant et en déduire que les aires successives sont doublées à chaque nouveau carré.

- Comprendre qu’en doublant l’aire des carrés à chaque fois, les dimensions du 20ème seront trop grandes pour que tous les carrés soient dessinés, « à la main » on ne réussit pas à aller au-delà du dixième ou onzième. Il est par conséquent nécessaire « de voir avec l'esprit » ou de passer au registre du calcul.

- Passer dans le domaine numérique et noter explicitement les correspondances entre les rangs des triangles rectangles visibles (de 1 à 19) et leurs aires exprimées éventuellement en « triangles unités » (dénombrés par pavage). Percevoir la progression des puissances de 2 dans les aires obtenues, notamment pour les derniers termes.

La 20e figure est un carré d’aire 219 cm² (elle est faite de 4 triangles isométriques au triangle de rang 19).

- Considérer la figure reconstruite à partir du dernier carré (le 20ème) et remarquer qu’avant le 14ème, les carrés sont tous cachés et trouver à partir de la suite précédente des puissances de 2 la progression des aires visibles.

- Il faudra donc ne conserver que les aires visibles des sept derniers carrés, du 14e au 20e dont seule celle du dernier est celle d’un carré entier, les six précédents étant celles de demi-carrés. L’aire demandée est donc (en cm²) : (2¹² + 2¹³ + 2¹⁴ + 2¹⁵ + 2¹⁶ + 2¹⁷) + 2¹⁹ = 2¹² (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128) = 782 336.

Notions mathématiques

superposition, carré, suite de figures

Résultats

23.II.18

Points attribués, sur 302 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (782 336, en cm2) avec explications claires (les sept aires explicitées)
• 3 points: Réponse correcte (782 336, en cm2) sans explications ou explications très incomplètes
  ou erreur de calcul mais avec les 7 aires bien reconnues
• 2 points: Réponse erronée due à une confusion dans les 7 aires à déterminer (les sept carrés entiers, ou les sept demi-carrés),
  ou bien réponse erronée donnant la somme totale de la progression des puissances de 2, de 1 à 218 plus l’aire 220 du 20ème carré en triangles unité, ou la moitié en cm2, soit 786 431,5 cm2
• 1 point: Réponse erronée où il y a plus de 7 aires prises en compte
  ou début de raisonnement (reconnaissance de la suite des aires des carrés seulement)
  ou calcul de l’aire des six premiers carrés seulement
• 0 point: Incompréhension du problème

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