Banca di problemi del RMT
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Confrontare le aree di sette poligoni disegnate su una griglia a maglie quadrate i cui vertici sono sui nodi della griglia: due triangoli, due rettangoli, un parallelogrammo, un trapezio, e un pentagono (quadrato completato da un triangolo rettangolo
Nella figura qui sotto sono disegnati sette poligoni i cui vertici sono sui vertici della quadrettatura.
Individuate i poligoni che hanno la stessa area.
Mostrate come siete arrivati alla vostra risposta.
Il testo precedente era “L’analisi a priori” del problema, che teneva conto delle analisi a posteriori di due precedenti problemi Triangoli sul geopiano(ral. 27.I.18), Confronto di figure (26.I.12), ma non poteva ancora mettere in luce l’interesse del problema in un percorso di apprendimento.
Questo problema consente di riprendere, a livello di scuola secondaria di primo grado (categoria 6-8), tutte le conoscenze acquisite fin dalla scuola primaria relative all'area e al perimetro dei poligoni "elementari" e di farne una sintesi.
Gli alunni dovranno riconoscere nella griglia quadrettata lo "strumento primitivo" di misurazione dell'area e individuare nei suoi quadratini le unità di misura da contare una a una; dovranno poi passare a considerare le porzioni di quadratino da ricomporre in unità intere e a scomporre i poligoni in parti che formino quadrati, rettangoli o triangoli rettangoli, il cui conteggio dei quadratini risulta più agevole.
Tale procedura dovrà essere confrontata con il calcolo basato sulle formule per l'area dei poligoni elementari portando così al confronto tra i due metodi ("conteggio dei quadratini" contro "misurazione dei segmenti per il calcolo dell'area") e alla distinzione tra figure in "posizione standard" (lati orizzontali e/o verticali) e in "posizione non standard" (lati obliqui), aspetto che introduce un nuovo conflitto.
L'elenco dei saperi da mobilizzare o da costruire è lungo. Di seguito i più evidenti; gli altri emergeranno durante lo svolgimento del problema in classe:
- le due grandezze in gioco: le superfici (2D) e le lunghezze (1D) con le relative misure: le aree (le cui unità possono essere i "quadretti della griglia quadrata" o i cm²) e le lunghezze (le cui unità possono essere i "lati dei quadretti della griglia quadrata " o i cm), nonché le conversioni tra unità della stessa dimensione e la consapevolezza che le unità di dimensione 2D sono il prodotto di due unità di dimensione 1D;
- il confronto tra superfici equivalenti mediante composizione o scomposizione (il quadrato diviso in due triangoli rettangoli isosceli da una diagonale o in 4 parti simili dalle due diagonali; il rettangolo diviso in due triangoli rettangoli da una diagonale; il parallelogramma come rettangolo "trasformato");
- il confronto tra lunghezze equivalenti mediante composizione o scomposizione;
- le formule per l'area del rettangolo, del parallelogramma, del triangolo e del trapezio;
- l'individuazione delle distanze da misurare per il calcolo dell'area dei poligoni sopra citati;
- il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato;
- le approssimazioni delle misure di lunghezza;
poligono, triangolo, quadrilatero, quadrato, rettangolo, trapezio, parallelogrammo, area, unità d’area, lunghezza, unità di lunghezza, quadrettatura, formula, diagonale, approssimazione, perimetro
Punteggi attribuiti su 1681 classi di 21 sezioni:
| Points attribués | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. classes | moy |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 225 (23%) | 334 (35%) | 251 (26%) | 89 (9%) | 64 (7%) | 963 | 1.41 |
| Cat 8 | 79 (11%) | 208 (29%) | 216 (30%) | 115 (16%) | 100 (14%) | 718 | 1.93 |
| Total | 304 (18%) | 542 (32%) | 467 (28%) | 204 (12%) | 164 (10%) | 1681 | 1.63 |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
I risultati sopra riportati sono quelli rilevati su quasi 1700 gruppi di alunni delle categorie 7 e 8, sulla base degli elaborati consegnati dopo 50 minuti di lavoro durante la prima prova del 29° RMT, nel 2022. Essi sono confrontabili con quelli emersi dalle sperimentazioni in classe del 2026, nei casi in cui gli alunni hanno lavorato in gruppo nelle medesime condizioni (senza una lettura preliminare del testo condotta dall'insegnante). Tali risultati evidenziano l'entità del lavoro da svolgere in classe affinché tutti gli alunni riescano a determinare con esattezza l'area di ciascuno dei sette poligoni, quantomeno contando uno a uno i quadratini della griglia quadrata.
La risposta "i sette poligoni hanno la stessa area: 24 (in unità di quadratini)" è tutt'altro che maggioritaria; si tratta di una constatazione ed è necessario cercare di spiegare gli ostacoli incontrati:
L'analisi a posteriori degli elaborati raccolti dopo la gara ha rivelato che in entrambe le categorie i risultati migliori sono quelli dove sono stati contati i quadretti o comunque è stato fatto riferimento ai lati dei quadretti e tali procedure sono molto più utilizzate in categoria 8. In categoria 7 molto spesso gli allievi si sono imbarcati in misurazioni con il righello, costringendoli a scomodi calcoli con numeri decimali per trovare le aree con l’uso delle formule.
Tutte le sperimentazioni in classe confermano il conflitto "conteggio dei quadretti" / "misurazione dei segmenti per il calcolo dell'area". Non solo le misurazioni risultano imprecise, ma vengono effettuate su segmenti inappropriati, il che illustra il secondo conflitto: quello tra "posizione standard" e "posizione non standard" delle figure. Altri ostacoli emergono quando gli alunni tentano di misurare, con un righello graduato in centimetri, distanze espresse in numero di lati dei quadretti della griglia quadrata. Un ulteriore ostacolo è rappresentato dalla confusione tra i termini "base" e "altezza" associati ai lati "orizzontali" e "verticali", la cui validità viene meno nella posizione "non standard".
Si può anche rilevare la varietà delle risposte corrette in base alle figure. L'area del rettangolo D, in posizione "standard", è ovviamente la più facile da determinare tramite la formula; seguono poi quelle dei due triangoli A e C, in posizione "non standard", ma comunque dotati di una "base" allineata alle linee verticali della griglia. Per il parallelogramma B e il trapezio E le difficoltà sono maggiori, mentre per la figura G, quando viene riconosciuta come rettangolo...
Nei due articoli citati in bibliografia – il primo in La Gazzetta di Transalpino n. 12 (pp. 41-84) del 2022 e il secondo, che riporta le sperimentazioni in classe, in Gazzetta BPrmt n. 1 (pp. 47-84) del 2026, si trovano numerosissime riproduzioni di elaborati degli alunni; essi illustrano la loro straordinaria creatività nell'ideare soluzioni corrette e, soprattutto, fantasiose.
Ecco un elenco, non esaustivo, delle riflessioni da sviluppare durante la prima fase di messa in comune:
- Si parte da due rettangoli, un parallelogramma (rettangolo ”trasformato”), due triangoli e un trapezio (o meglio, due semi-parallelogrammi) e un poligono a cinque lati.
- La quadrettatura è lo strumento di misura "naturale" o elementare che permette di determinare l'area di ciascuno di questi poligoni molto particolari (poiché tutti i loro vertici coincidono con i nodi della griglia), contando i quadretti uno a uno oppure raggruppandoli...
- Le misurazioni effettuate con un righello graduato non sono adatte, in quanto i quadretti della quadrettatura non corrispondono a centimetri quadrati e l'imprecisione delle misure rilevate porta ad approssimazioni.
- Poiché lo strumento "quadrettatura" non è graduato, è opportuno individuare una procedura più efficiente del conteggio quadretto per quadretto per determinare l'area del poligono in base alla sua forma. Per tutte le figure del nostro problema dei "I sette poligoni" — rettangoli, parallelogrammi, triangoli e trapezi — esistono procedure specifiche: le formule per il calcolo dell'area.
- Per il rettangolo D, la moltiplicazione 2 × 12 è frequente (può derivare da un ricordo della quarta o quinta classe della scuola primaria o dalla percezione visiva delle 2 file da 12 quadratini). Tuttavia, non bisogna illudersi pensando che, nella mente degli alunni, il 2 e il 12 rappresentino le lunghezze (grandezze unidimensionali) dei due lati del rettangolo. (Si veda a tal proposito l'introduzione della famiglia LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree e della sua sottofamiglia LA/UA -Gestire unità d’area).
- La figura G non viene sempre riconosciuta come un rettangolo e, quando ciò accade, la sua area non viene mai calcolata mediante il prodotto 4 × 3 (misure di lunghezza basate sulle "diagonali dei quadratini", che portano a un'unità di misura dell'area doppia rispetto a quella del quadratino stesso). Si tratta di un indizio significativo: la "formula" dell'area del rettangolo viene applicata solo nei casi in cui i lati della figura sono orizzontali e verticali.
- L'area della figura B, un parallelogramma, si calcola con la stessa formula utilizzata per il rettangolo con "base" 3 e "altezza" 8 (misurate in lati di quadratini), a condizione di sapere che la "trasformazione" del rettangolo – consistente nello spostare il lato superiore di 6 quadratini verso sinistra – non ne modifica l'area. (A tal proposito, è necessario svolgere un lungo lavoro di ritaglio e ricomposizione; il geopiano è, in questo caso, uno strumento privilegiato per illustrare tali "trasformazioni").
- I due triangoli A e C sono, come tutti i triangoli, dei semi-parallelogrammi. Ciascuno di essi ha un lato verticale che coincide con le linee della griglia e si trova quindi in una posizione quasi "standard". È sufficiente costruire o immaginare il parallelogramma intero (che può "trasformarsi" in un rettangolo), calcolarne l'area e dividerla per 2.
- Anche il trapezio E è un semi-parallelogramma (ottenuto dividendo la figura lungo uno dei lati non paralleli); anch'esso va immaginato o costruito, come nel caso dei triangoli.
- Le "formule per l'area" di 6 dei 7 poligoni (fatta eccezione per E) sono sempre il prodotto di due misure di lunghezza (di dimensione) – tradizionalmente denominate "base" e "altezza" per i parallelogrammi (inclusi rettangoli e quadrati) – che vengono poi divise per 2 nel caso i triangoli, in quanto semi-parallelogrammi.
- Gli allievi delle categorie 7 e 8 (e anche di quelle precedenti) possono memorizzare queste formule e applicarle correttamente nel caso molto particolare dei poligoni A, B, C, D ed E, in cui almeno un lato di ciascuna figura segue le linee della griglia. Questa prima misura di lunghezza deriva dal conteggio dei lati dei quadratini della griglia, operazione che si fa carico anche della direzione della seconda lunghezza da misurare (perpendicolarmente). Senza questa particolare disposizione dei poligoni sulla griglia, l'uso delle formule diventa più delicato (nel nuovo problema "Altri 5 poligoni", i vertici delle figure si trovano sempre sui nodi di una griglia, ma nessun lato è verticale o orizzontale; l'applicazione delle formule comporta quindi la difficoltà legata alle approssimazioni, sebbene le aree possano essere determinate tramite conteggio e/o scomposizione e ricomposizione in rettangoli e triangoli rettangoli).
Se si considera l'attività con I sette poligoni nell'ambito di un percorso di apprendimento, si nota che c'è ancora molto da fare: osservare i perimetri di queste sette figure di area 24; passare ad altre figure che non abbiano lati coincidenti con le righe della griglia, per poi abbandonare questo "facilitatore" e per introdurre lo studio generale dei poligoni; addentrarsi anche nel campo dei numeri i razionali e irrazionali...
A tal proposito, ecco alcuni suggerimenti tratti dalle prime sperimentazioni.
1. Questioni supplementari sulla interessante __famiglia di poligoni di area 24 i cui vertici si trovano sui nodi della griglia quadrata.__
1.1. Quanti rettangoli ci sono in questa famiglia?
1.2. C'è un quadrato?
1.3. Qual è quello con il perimetro minore? (diversi insegnanti hanno affrontato la questione del perimetro)
1.4. Qual è il triangolo di questa famiglia con il perimetro maggiore?
1.5. Quanti parallelogrammi ci sono in questa famiglia che hanno due lati di misura 3 (lati di un quadratino della griglia)?
2. __La famiglia dei quadrati i cui vertici si trovano sui nodi della griglia__
2.1. Qual è quello con l'area minore i cui lati non seguono le linee della griglia quadrata?
2.2. Disegnate un quadrato inscritto nel quadrato di 3 × 3 (lati di quadratini), calcolatene l'area e indicate la misura del suo lato (esattamente, senza approssimazioni decimali).
2.3. Disegnate un altro quadrato di 17 × 17 (cm) i cui vertici si trovino sui nodi di una griglia (quadratini da 1 cm × 1 cm). (A tal fine si può utilizzare un foglio a quadretti da 0,5 cm × 0,5 cm). Successivamente, disegnate tutti i quadrati inscritti in questo quadrato di 17 × 17 (cm) i cui vertici si trovino anch'essi sui nodi della griglia. (Vedi il problema "Molti quadrati in un quadrato")
- Quanti ce ne sono?
- Quanto misurano i loro lati?
- Qual è quello con l'area maggiore?
- ...
2.4. A proposito del quadrato inscritto in un altro quadrato: basta spostare i quattro triangoli per constatare che l'area del quadrato interno è pari alla somma delle aree di altri due quadrati più piccoli.
3. __I poligoni i cui vertici si trovano sui nodi di una quadrettatura, ma i cui lati non giacciono su alcuna riga del reticolo stesso__ (vedi il nuovo problema "Cinque poligoni e domande imbarazzanti".
4. __Origami.__ Nelle classi di un’insegnante gli allievi hanno illustrato alcune proprietà dei poligoni attraverso gli origami (piegatura della carta), che hanno imparato a utilizzare come "materiale" di manipolazione.
5. __E infine: le (due) formule per l'area del parallelogramma e quelle (tre) per il triangolo__, senza l'ausilio della griglia e con i necessari approfondimenti sui numeri razionali e irrazionali. (Vedi a tal proposito I due rettangoli (ral. 25.I.13 ; cat. 7-8) e un nuovo problema da elaborare: "Le tre 'basi' del triangolo".)
Seguiranno ulteriori dettagli in base alle sperimentazioni di queste proposte che gli insegnanti inseriranno nei loro percorsi didattici.
Altri problemi da inserire in un percorso didattico sui poligoni i cui vertici si trovano sui nodi di di una quadrettatura:
I dieci punti (ral. 18.I.08; cat. 5-7): A partire da dieci punti su una griglia quadrettata, ricerca di gruppi di quattro punti che formano dei quadrilateri aventi le proprietà caratteristiche del rettangolo.
Sul muro della scuola (I) (ral. 18.II.06; cat. 4-5): Tra dieci quadrilateri disegnati su una quadrettatura, accostati in modo da avere un lato in comune con il successivo, riconoscere i rettangoli, i parallelogrammi non rettangoli e gli altri quadrilateri.
Sul muro della scuola (II) (ral. 18.II.13; cat. 6-8): Tra dieci quadrilateri disegnati su una quadrettatura, accostati in modo da avere un lato in comune con il successivo, riconoscere i rettangoli, i parallelogrammi non rettangoli, gli altri quadrilateri e determinare l’area dei due più grandi.
Nicoletta Borghesi, Brunella Brogi, Florence Falguères, Roberta Filippini, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Claudia Sticozzi, Michelina Strazza, Laura Verrucci, I sette poligoni. In Gazzetta BPrmt 1. 47-84 (2026)
Fiche élaborée selon les expérimentations et réflexions des membres de l'espace coopératif BPrmt : Nicoletta Borghesi, Brunella Brogi, Elisabetta Bruno, Florence Falguères, Roberta Filippini, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Claudia Sticozzi, Michelina Strazza, Laura Verrucci.
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