La tente canadienne

Identification

Rallye: 27.I.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaine: 3D
Familles:

• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/SV - Traiter des développements de solides

Remarque et suggestion

Résumé

Choisir les figures qui constituent les faces d’un prisme à base triangulaire (tente canadienne) parmi 3 paires de triangles isocèles et 11 rectangles dont 4 paires de rectangles

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que le dessin représente une tente qu'il faut interpréter comme un solide de l'espace formé de 2 triangles superposables (parties avant et arrière de la tente), 2 rectangles superposables (les deux pans du toit) et d’un autre rectangle (tapis de sol de la tente).

- Comprendre qu’une arête est formée par deux côtés de deux polygones qui sont en contact et donc que ces deux polygones ont un côté de même longueur. Par conséquent, les rectangles formant le toit doivent avoir un côté de même longueur qu’un côté « oblique » des triangles isocèles et l’autre côté de même longueur qu’un côté du rectangle de base ; la base des triangles isocèles et l’autre côté du rectangle de base doivent également être de même longueur.

- Comprendre ce qu'est une maquette, modèle réduit de la tente qui ne prend pas en compte certains éléments de la réalité (piquets, fermeture...).

- Comprendre que la maquette doit être réalisée en sélectionnant des figures parmi celles qui sont proposées, sans possibilité de les modifier.

- Pour choisir les rectangles et triangles correspondants, on peut procéder par découpage des pièces ou par mesurage de leurs côtés.

- Dans un cas comme dans l’autre, il faut ensuite comparer les côtés et éliminer progressivement les pièces qui ne peuvent pas s’adapter aux autres : Constater par exemple que le « tapis » C peut être exclu car ses dimensions ne correspondant pas aux quatre couples de « toits » proposés, puis éliminer le « tapis » A qui ne correspond pas aux bases des trois couples de triangles, etc. Finalement, retenir le rectangle B comme « tapis », les rectangles H et J comme pans du « toit » et les triangles M et N comme faces verticales.

Notions mathématiques

espace, développement, patron, triangle isocèle, rectangle, prisme, plan, horizontal, vertical, symétrie, symétrie axiale, symétrie par rapport à un plan

Résultats

27.I.06

Points attribués sur 3176 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : assemblage ou indication des figures choisies (rectangle B, rectangles H et J, triangles M et N) avec une explication claire qui se réfère à la longueur des côtés ou à un découpage et une construction
• 3 points: Réponse avec indication des figures nécessaires avec une explication incomplète ou peu claire de la procédure suivie
• 2 points: Réponse correcte sans indication sur la façon dont les figures ont été trouvées
  ou réponse partiellement erronée (au moins trois figures correctes) avec explication de la procédure suivie
• 1 point: Début de recherche appropriée mettant en évidence la recherche de figures ayant des côtés de même longueur
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L’examen des premières copies permet d’identifier deux types de procédures permettant d’arriver au choix correct :

1) par découpage des pièces et essais d’assemblage

2) par mesures des pièces sur le dessin

Mais ce choix correct n’est obtenu que dans une minorité des cas : environ un quart des copies en catégorie 4, 30 à 40% en catégories 5 et 6. Il peut y avoir des erreurs de pièces dues à des mesures imprécises ou des juxtapositions approximatives, en particulier pour les deux triangles. Dans majorité des cas, c’est au niveau de l’appropriation de la tâche que se situent les obstacles. Pour l’adulte, le problème se situe dans le domaine de la géométrie et des propriétés du prisme droit et de ses faces : trois rectangles de « longueurs » isométriques et deux triangles égaux dont les côtés sont respectivement isométriques aux trois « largeurs » des rectangles. Pour les élèves, le problème se situe au niveau de l’objet « tente » et des faces à choisir pour le reconstituer. (Le passage de cet objet réel à la figure géométrique abstraite n’est pas facilité, ni par le dessin, où l’on voit clairement que les dimensions des pans du « toit » dépassent celles du « tapis » ni par la description des pièces parlant de « toit » constitué de deux rectangles distincts … ).

La tâche est complexe et exige une analyse systématique des pièces, qu’on ne perçoit que dans les copies de catégories 5 à 6. Par exemple. voici les explications d’un groupe de catégorie 6 qui a travaillé par découpages et comparaisons, sans mesures des côtés : On a découpé les rectangles A-B-C. Après on a découpé les rectangle D-E-F-G-H-J-K-L ; on a observé qu’elles allaient avec les A-B-C. Aucune des formes D-E-F-G-H-J-K-L pouvait aller avec le C, du coup on a traçé le C. Le K et le L ne pouvaient pas aller avec le A-B donc on les a tracées. On a découpé les triangles M-N-O-P-R-S. Aucun ne pouvait aller avec le D-E donc on a tracé le D-E. Le O-P n’étaient pas assez hauts donc on les a tracés. Le R-S étaient trop hauts donc les triangles pour l’arrière et l’avant sont M-N. Les deux rectangles pour le toit sont H-J. Pour le sol il reste A-B. Le A ne peut pas aller avec le M-N donc on l’a tracé. Il ne reste plus que le B. REPONSE : Sol : A Toit : H-J, triangles M-N. Avec une erreur de copie pour le « sol » (A au lieu de B).

Exploitations didactiques

Le problème peut être repris en classe, par groupes, après avoir levé les incertitudes sur l’objet « tente », au stade de la construction effective d’une maquette, avec découpage et juxtaposition des pièces pour choisir celles qui correspondent et éliminer les autres. (Du genre de l’exemple cité précédemment) Après la procédure de découpage et comparaison par juxtaposition, on peut aussi envisager les procédures de comparaisons des côtés par mesurage, tout en étant conscient des limites de précision, comme la précédente. On peut évidemment modifier les rectangles et triangles à disposition, en augmenter ou diminuer le nombre.

Au cours de cette activité de découpage puis de comparaison, apparaissent les notions de plan vertical et horizontal, de symétrie, de triangle isocèle, de rectangle, de prisme droit comme solide de cinq faces, dont trois rectangles avec une de leurs dimensions isométriques et deux triangles isométriques … Il est aussi possible, après la construction de la maquette, d’en dessiner un (ou plusieurs) développement(s) (patrons) ou une représentation en perspective.

Voir les problèmes de la famille VS/SV - Traiter des développements de solides - 17.I.05 Boîtes - 18.I.04 La boîte à recouvrir.

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