Un mazzo di fiori

Identificazione

Rally: 17.I.15 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: AL, FN
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ2 - Risolvere un’equazione di 2° grado

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare il numero n tale che 2n(n-1) = 2244 in un contesto di una colletta tra gli alunni esigendo la conversione dell’euro in centesimi (equazioni di secondo grado).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Prima di tutto, interpretare correttamente l'enunciato. Si è verificato che è la difficoltà di lettura dell'enunciato che ha impedito a molti allievi di impostare i calcoli correttamente.

Calcolare la quota che sarà ottenuta per differenti effettivi n di allievi per il prodotto di quello che ciascuno dà (2n) moltiplicato per il numero di allievi (n-1), fino a trovare, per tentativi successivi, 2244 centesimi. Si trova così n = 34.

O, interpretare l’enunciato sotto forma algebrica: se n è il numero di allievi nella classe, Sandra ha ricevuto 2n (n–1) centesimi di euro. L'equazione 2n (n–1) = 2244, con n intero, ha come soluzione 34.

Per risolvere questa equazione, si può procedere per tentativi successivi, sapendo che n è un numero intero, a partire da n(n–1) = 1122.

Si può (in cat 10 ?), utilizzare la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado dopo aver semplificato per 2: n (n–1) = 1122 o n ² - n - 1122 = 0 => n = 1+ ( ✔(1+4488)/2) (l’altra radice non è accettabile perché è negativa).

Senza ricorrere alla formula generale, si può ancora notare che 2(n – 1)² < 2 n(n – 1) < 2n². Utilizzando le radici quadrate si ha dunque: n – 1 < ✔1122 < n. Poiché ✔1122 ≅ 33,5, si ha n = 34.

Nozioni matematiche

funzione, trinomio di secondo grado, equazione di secondo grado, radice quadrata, messa in equazione

Risultati

17.I.15

Su 1181 classi che hanno partecipato alla I prova del 17° RMT, di 21 sezioni

Secondo i criteri dell'analisi a priori del problema:

• 4 Risposta corretta (34 allievi) con ricerca ragionata
• 3 Risposta corretta ottenuta con tentativi non organizzati
• 2 Risposta corretta senza spiegazione
• 1 Risposta errata, ma inizio di ragionamento corretto
• 0 Assenza di risposta

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Non ci sono «ostacoli» nel senso della didattica, ma la lettura difficile e cattiva comprensione dell'enunciato. La relativa complessità dell'enunciato non ha permesso a certi allievi di appropriarsi della situazione, quindi di risolvere il problema. Constatiamo che questo problema non è stato trattato all'interno di un ambito algebrico. In categoria 7 e 8 non c'è da meravigliarsi, è, invece, strano in cat 9 dove gli allievi studiano le funzioni ed imparano a «mettere in equazione» problemi in contesti diversi. E la stessa cosa in cat 10, appena più di un quarto degli allievi scrive l'equazione corretta.

Procedure ed errori che si sono potuti identificare:

  Categoria	Procedure	                   Errori

  7 e 8     - per tentativi               Capiscono che ogni allievo dà 2 centesimi
            - utilizzo di un'incognita
            - scrittura di un'equazione   Trovano 22, 33, 17 o 11
            - ricerca dei divisori 
              di 2244

  9         - per tentativi
            - utilizzo di un'incognita
            - scrittura di un'equazione   Capiscono che ogni allievo dà 2 centesimi

  10        - per tentativi
            - utilizzo di un'incognita
            - scrittura di un'equazione 
            - calcolo della radice quadrata Capiscono che ogni allievo dà 2 centesimi
              di 1122

Indicazioni didattiche

Nell'ambito di una sperimentazione fuori del rally in 8 classi, una di cat 8, cinque di cat 9 e due di cat 10, questo problema è stato proposto con una domanda supplementare, il cui obiettivo era quello di incitare gli allievi a porsi in ambito algebrico: «Scrivete i calcoli da fare per trovare il numero di allievi della classe». Ma anche in questo caso, solo in 1 copia di cat 9 e in 3 di cat 10 scrivono delle equazioni (sbagliate in ragione di una cattiva interpretazione dell'enunciato!). In due elaborati è stata scoperta l'idea di funzione, nel suo registro «oggetto-immagine», ed in un'altra di cat. 9, l'utilizzo di un tabulatore ha permesso di ottenere la risposta.

A proposito della nozione di funzione

• La nozione di funzione è, all'inizio, implicitamente presente grazie all'introduzione di un'incognita identificata con una lettera, prima che possa, seguendo il contesto del problema, acquisire la condizione di variabile. La soluzione di un'equazione è, quindi, anticipatrice della nozione, se è esplicitamente interpretata da una domanda del tipo: «fra tutti i valori che può prendere n (o x), qual è quello che (o sono quelli) che soddisfa le condizioni del problema?».
• Anche lo stabilire una relazione fra variabili in seno ad una formula è precursore dell'idea di funzione. Essendo questa formula associata ad una condizione (per esempio = 0), gli allievi possono interpretarla in termini di relazione oggetto-immagine da: «fra tutti i valori che si ottengono da questo calcolo a partire da quelli di n (o x), ce ne sono che verificano la condizione?».
• In questo problema 15 del mazzo di fiori, in certi elaborati gli alunni hanno pensato alla radice quadrata come operazione inversa del quadrato, indicando, quindi, la presenza dell'idea di funzione.
• La nozione di funzione è stata tardivamente scoperta nella storia della matematica (Leibniz), dapprima compresa come formule che legano variabili, altri modi di rappresentazione sono seguiti (algoritmi, tabelle, grafici, …). La nozione di funzione prenderà il suo status reale quando gli allievi potranno passare da un registro di rappresentazione ad un altro. Le analisi dei problemi del Rally dimostrano la difficoltà di questo passaggio concettuale che si costruisce durante tutti gli studi secondari.

Bibliografia

Henry, M. Le concept de fonction dans les problèmes du RMT, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 6, Parma 2006. Eds. Lucia Grugnetti, François Jaquet, Daniela Medici, M. Gabriella Rinaldi, ARMT, 2007, p. 151-168.

Krysinska, M. & Schneider, M. Émergence de modèles fonctionnels, les éditions de l’Université de Liège, col. Si les mathématiques m’étaient contées, 2010.

Groupe fonction (2013). Un mazzo di fiori. Studio ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/studio-al9-it.pdf)

(c) ARMT, 2009-2024