Banca di problemi del RMT
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Trovare la posizione del termine 210 in una progressione aritmetica con primo termine 9 e di ragione 3: 9, 12, 15,… I primi tre termini sono definiti dal numero di quadrati neri di una successione di tre figure formanti delle “scale”.
- Osservare le figure e contare i quadrati neri 9, 12, 15.
- Rendersi conto che nel passaggio da una figura all’altra, si aggiungono 3 quadrati neri e disegnare una quarta figura (o più figure) per verificarlo: 9, 12, 15, 18.
- Scrivere la successione dei numeri di quadrati neri per scala (progressione aritmetica di ragione 3): 9, 12, 15, 18, 21, 24,… e constatare che si tratta dei multipli dei 3, salvo 3 e 6. Calcolare 210 – 9 = 201, poi 201/3 = 67 e 67 + 1 = 68.
- Proseguire la scrittura fino a 210 e contare i termini della successione: da 1 a 68, o calcolare il numero dei multipli di 3 fino a 210: 210 / 3 = 70, eliminare il 3 e il 6 ed ottenere così 68 termini per la successione, o fare dei «salti», per esempio di 30, a partire da 9 : 9, 39, 69,…., 189,... o anche a partire da 30: 30, 60, ... , 210 e procedere al conteggio.
Oppure, indicare con n il numero di una figura della successione e associare a n il numero dei quadrati neri della n-esima figura. Constatare che questo numero corrisponde a 9 + 3(n−1), cioè 3n + 6, e calcolare il numero corrispondente alla figura con 210 quadrati neri risolvendo l’equazione 3n + 6 = 210. Ottenere n = 68.
Oppure, osservare che se n è il numero di una figura della successione, ci sono n + 3 cubetti neri sul lato orizzontale di tale figura, n + 2 sul lato verticale e infine n + 1 sul lato obliquo, cioè in tutto 3n + 6. Dedurne che n = 68 calcolando (210−6) / 3.
Oppure, utilizzare un’altra procedura algebrica che conduce alla stessa formula: se n è il numero di una figura della successione, si può osservare che questa figura ha un numero di quadrati neri uguale a 2 (n + 3) + n, cioè 3n + 6, e risolvendo l’equazione 3n + 6 = 210 si ottiene n = 68.
successioni, progressioni aritmetiche, numeri naturali, posizione, termine, ragione
Punteggi attribuiti su 1877 classi di 15 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 187 (19%) | 287 (30%) | 138 (14%) | 56 (6%) | 299 (31%) | 967 | 1.99 |
| Cat 8 | 101 (14%) | 164 (22%) | 121 (16%) | 74 (10%) | 282 (38%) | 742 | 2.37 |
| Cat 9 | 15 (9%) | 26 (15%) | 20 (12%) | 15 (9%) | 92 (55%) | 168 | 2.85 |
| Totale | 303 (16%) | 477 (25%) | 279 (15%) | 145 (8%) | 673 (36%) | 1877 | 2.22 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2016-2024