Il grillo salterino

Identificazione

Rally: 26.I.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: FN, OPQ
Famiglie:

• AMQ - Addizionare, moltiplicare, ... confrontare, trasformare frazioni
• PRG - Gestire progressioni
• PRG/PA - Gestire progressioni aritmetiche

Remarque et suggestion

Sunto

Calcolare il primo termine di una successione di sette termini di cui si conosce l’ultimo e in cui, a partire dal secondo, un termine è rispettivamente 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … di più del termine precedente.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi del compito a priori:

- Comprendere le regole di innalzamento dell’asta: dopo ogni salto viene alzata rispettivamente di un mezzo, un terzo, un quarto, un quinto, un sesto e un settimo dell’altezza raggiunta nel salto precedente.

- Rendersi conto che il grillo dopo sette salti ha superato un’asticella che dista da terra 60 cm e quindi capire che si è in presenza di una serie di sette altezze, di cui si conosce solo l'ultima (60) e le regole di passaggio da una all'altra.

- Sono possibili tre procedure: lavorare con prove successive a partire da valori ipotetici della prima altezza, analizzare la situazione mediante un disegno che evidenzi le varie altezze dell’asticella oppure partire da 60 e tornare indietro nel tempo, passo dopo passo.

- Procedere per tentativi, ipotizzando l’altezza del primo salto, per esempio 10 cm, e procedere secondo le indicazioni: aggiungere a 10 la metà di 10 (5) ottenendo 15, aggiungere a 15 un terzo di 15 (5) ottenendo 20, ecc. fino ad arrivare a 40 dopo il settimo salto. Ci si rende conto che non si raggiunge l’altezza di 60 cm, ma si può osservare però che l’aumento da un salto all’altro non cambia (5). Poiché 40 è meno di 60, continuare i tentativi scegliendo un numero di partenza superiore a 10 (con 20 si arriva a 80, con 14 e 16 si arriva a 56 e 64,…), il tentativo con 15 porterà a 60.

Oppure:

Con una rappresentazione grafica, meglio su carta quadrettata, si evidenzia l’uguaglianza degli aumenti di 1/2, 1/3 …1/7 che valgono anche la metà dell’altezza dell’asticella quando è in posizione iniziale e che il salto finale corrisponde a otto volte la metà del salto iniziale. Quindi dividendo l’altezza del salto finale per 8 si trova la metà del primo salto: 7,5.

Concludere che l’asticella all’inizio della gara era stata messa a 15 cm (=7,5 × 2) di altezza.

Oppure:

Partire da 60, che è 1/7 di più di 7/7 dell’altezza precedente, cioè 8/7, calcolare il valore di 1/7 (60 : 8 = 7,5) e di 7/7 (7 × 7,5 = 52,5) che è l’altezza della sesta posizione dell’asticella, continuando così si arriva successivamente a 45; 37,5; 30; 22,5 e infine a 15.

Oppure per via algebrica:

Indicando con x l’altezza del 1° salto, gli altri sette salti sono:

  x ;  x + 1/2 x = 3/2 x ;  3/2 x + 1/3+3/2 x = 2x ;  
  2x + 1/4+2 x = 5/2 x ; 3x ; 7/2x  et 4x = 60 => x = 15

Nozioni matematiche

terzo, metà, frazione

Risultati

26.I.14

Punteggi attribuiti su 2324 classi di 17 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (15 cm) con spiegazione chiara e completa (tentativi esplicitati con dettaglio dei calcoli, disegno o progressione aritmetica la cui ragione è la metà dell’altezza di partenza o impostazione di una equazione con risoluzione)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara (disegno approssimativo, un solo tentativo senza dettagli oppure procedura algebrica mancante di qualche passaggio)
  oppure risposta corretta con solamente una verifica (senza evidenziare i tentativi, solamente con la lista delle sette altezze)
  oppure risposta errata per un errore di calcolo, con procedura completa e argomentata, come per i 4 punti.
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure risposta errata a causa di uno o due errori di calcolo con spiegazioni incomplete o poco chiare
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente (qualche altezza o qualche tentativo che mostri la comprensione della situazione)
• 0 punto: Incomprensione del problema

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