Banque de problèmes du RMT
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Déterminer la valeur minimum d’un montant égal à 3000 – 60x + x2, où x est un nombre entier compris entre 0 et 50 euros.
- Comprendre le contrat - une fiction étrange mais intrigante - entre les inscrits et les organisateurs et la « pénalité » en particulier la phrase « autant d’euros que le nombre de personnes qui ont renoncé à voyager ». Comprendre aussi que le « montant minimum » de la question dépend du nombre de « personnes ayant renoncé » et fait entrevoir « quelque chose qui varie »dans la situation : il y a 50 inscrits - dont certains renoncent ou participent - qui conduiront à 50 montants possibles qui semblent a priori tous différents.
Finalement, il faut se convaincre qu’il sera nécessaire de calculer les montants, de les comparer pour percevoir si l’on peut détecter une variation et sa nature : régulière ou non, avec augmentations ou diminutions ; en espérant qu’il ne sera pas nécessaire de les calculer tous.
- Envisager éventuellement, au moment de l’appropriation de la situation les montants pour les limites de l’intervalle (en €) : 3000 pour 0 renoncement ou 50 participants : (50 x 60) et 2500 pour 50 renoncements ou 0 participant (50 x 50 ou 502)
Les différentes procédures de résolution figurent dans la rubrique "Procédures, obstacles et erreurs relevés".
minimum, parabole, fonction, fonction quadratique, polynôme
Points attribués sur 857 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 213 (38%) | 160 (28%) | 36 (6%) | 59 (10%) | 99 (17%) | 567 | 1.42 |
| Cat 9 | 35 (24%) | 36 (24%) | 14 (10%) | 21 (14%) | 41 (28%) | 147 | 1.98 |
| Cat 10 | 33 (23%) | 28 (20%) | 16 (11%) | 25 (17%) | 41 (29%) | 143 | 2.09 |
| Total | 281 (33%) | 224 (26%) | 66 (8%) | 105 (12%) | 181 (21%) | 857 | 1.63 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Procédures
1) Procédures arithmétiques partielles basées sur des tentatives incomplètes :
- Calcul exact sur un exemple
- Simple vérification pour 30 voyageurs renonçant au voyage sans explication sur le choix de 30
- Comparaison de deux recettes et présentation du plus petit montant comme résultat
2) Procédures arithmétiques complètes basées sur des tentatives exhaustives, parfois commentées par des explications :
- Calculs de recettes pour un nombre de voyageurs renonçant au voyage variant de 50 à 10, de 10 en 10
- Recherche astucieuse (calcul pour 25, puis 35 et demie-somme) et contrôle au voisinage du minimum
- Recherche systématique
3) Procédures algébriques non formalisées :
- Recherche de régularités et premières écritures de formules, même si elles ne sont pas réduites à une seule variable indépendante, du type : 60•participants + abandons 2,
- Essais de représentations graphiques, graphique qui peut être interprété soit comme la représentation cartésienne d'une fonction linéaire par intervalles (au lieu d'une fonction quadratique), soit comme une représentation symbolique des variations.
4) Procédures algébriques symboliques :
- Reconnaissance correcte d'une variable indépendante (nombre de participants p ou nombre d'abandons r) et expression des recettes en fonction de la variable choisie : 60p + (50 - p)2 ou r2 + (50 - r)•60 ou 60•50 - 60r + r2 (PR9036)). Souvent l'expression fait suite à une recherche d'exemples, le lien n'est généralement pas explicité et il n'est pas possible de savoir si la relation est plus qu'une expression littérale «représentant» la procédure de calcul (icône).
- Dans quelques cas, de cat.10, identification du minimum correspondant au sommet de la parabole.
Obstacles et erreurs relevés
1) Attribution du montant minimum correspondant au nombre minimum de participants (ou au nombre maximum d'abandons), dans de nombreux cas, la possibilité que tout le monde puisse abandonner a été exclue a priori
2) Non reconnaissance de la relation non linéaire entre le nombre de participants et le montant collecté, et par conséquent l'abandon de la recherche du minimum après la première tentative avec le nombre maximum d'abandons
3) Interprétation erronée du mécanisme de calcul de la pénalité obtenue en multipliant par 1 le nombre d'abandons au lieu de l'élever au carré
4) Application incorrecte de la proportionnalité directe pour le calcul du montant minimum
5) Identification du minimum dû à la coïncidence fortuite entre le nombre d'abandons (30) et la moitié des frais de participation (30€ = 60€/2)
6) Recours à un comptage de 10 en 10 non suivi d’une discrétisation plus fine.
La présence d'éventuels obstacles linguistiques dans l’énoncé est signalée :
- Dans la version française « paient au moins une pénalité », la locution « au moins » est cause d’incompréhension, elle peut être supprimée sans que cela modifie le problème mathématique
- Le mot « minimum » dans « Quel est le montant minimum que les organisateurs de l'excursion peuvent percevoir ? » provoque également des incompréhensions. Nous proposons d'utiliser la formulation « Parmi tous les montants possibles que les organisateurs du voyage peuvent percevoir, lequel est le plus petit ? »
En classe, l'explicitation des essais peut être encouragée sur papier ou à l'aide d'un tableur, en programmant une tablette et en affichant les données dans un graphique. L'utilisation de tableaux et de graphiques doit pousser à la réflexion sur la non-linéarité de la relation en question.
Ce problème présente un bon potentiel en termes de contrôle du niveau de compétence en matière de formalisation et de généralisation atteint par les élèves qui le résolvent.
Les copies examinées montrent clairement la procédure du passage progressif de l'écriture de quelques exemples numériques, à la généralisation partiellement verbale, partiellement symbolique, qui accompagne souvent les relations numériques, jusqu'à l'écriture d'une relation symbolique illustrant la procédure générale.
En outre, l'étape supplémentaire que l'on peut observer dans certains cas est l'identification de cette relation symbolique avec une fonction qui sert de modèle réel pour l'analyse de la situation. Cela peut déjà être réalisé dans quelques cas en catégorie 10, comme le montrent certains documents, mais cela peut être un objectif pédagogique à poursuivre par la discussion autour de cet exemple et d'autres, même dans les classes de niveaux supérieurs.
De plus, dans ce cas, la fonction présente un modèle qui va à l'encontre de l'intuition d'une tendance linéaire, ce qui peut remettre en question les premières expériences des élèves avec les fonctions, élargissant ainsi le panorama des possibilités à examiner.
Proposer des variantes du problème en changeant le nombre des participants ou la valeur des frais de participation (il a été noté que dans certains documents la solution "30 abandons" a été obtenue fortuitement en divisant par 2 les frais de participation de 60 euros). Avec les données actuelles (50 participants au maximum, frais de 60 euros), avec 50 participants on perçoit la somme de 3 000 euros et avec 0 participant 2 500 euros : cela peut conduire à l'hypothèse d'une fonction linéaire décroissante. En agissant sur la variable didactique « frais de participation », la situation peut être inversée et faire naître le soupçon que la relation n'est pas linéaire.
De plus, le fait que le minimum nm de la fonction soit entier induit certaines procédures et ne permet pas le développement de certaines justifications. Le choix d'une fonction ayant un minimum non entier obligerait les élèves à effectuer une analyse plus fine de la situation.
Un développement supplémentaire du problème pourrait être réalisé en passant des variables discrètes à des variables continues (voir le problème Carrelages en or (24.II.19)
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